VIÐAUKI A: Python-teikning tvívíðra falla

A1. Hæðarlínu- og hæðarsvæðamyndir

Hæðarlínur með skipuninni contour

Aftast í kafla 1.3 var gefið dæmi um teikningu hæðarlína (contours) falls með fallinu plt.contour, þar sem flestir stýristikar höfðu sjálfgefni gildi. Dæmið sýndi þó hvernig hægt er að tilgreina litaskala og línubreidd: Litaskali sem heitir rainbow var valinn og ennfremur þriggja punkta línubreidd (1 punktur = 1/72 tomma \(\approx\) 3.5 mm). Hér verða nokkrir fleiri stýrimöguleikar kynntir, en fyrst skoðað hvað stikarnir x, y og z geyma og hvað fallið dularfulla np.meshgrid gerir.

Skipunin plt.contour(x, y, z) teiknar hæðarlínur fyrir yfirborð sem lýsir tvívíðu falli \(f\) þar sem

\[z_{ji} = f(x_i, y_j), i = 0,1,2..., j = 0,1,2...\]

Hér eru x og y vigrar með gildum sem spanna svæðið sem teikningin nær yfir (t.d. úr np.linspace) og z er fylki með gildum \(f\) á svæðinu. Hér hefur stærðfræðilegur ritháttur verið notaður fyrir fylkið og vigrana. Til að gefa z gildi í Python mætti nota:

(nx,ny) = (len(x), len(y))
z = np.zeros((ny,nx))
for j in range(ny):
   for i in range(nx):
      z[j,i] = f(x[i], y[j])

Ástæða þess að vísað er í \(z_{ji}\) en ekki \(z_{ij}\) er sú að hefðin býður að vísa í dálka fylkis (sem ganga frá vinstri til hægri) á eftir línum þess (\(z_{ji}\) er í \(j\)-tu línu og \(i\)-ta dálki), en í tvívíðu hnitakerfi kemur \(x\)-hnit (líka frá vinstri til hægri) á undan \(y\)-hniti.

Í staðinn fyrir for-lykkjur má líka nota comprehension.

z = [[f(xi,yj) for xi in x] for yj in y]

Þetta er bæði einfaldari kóði, og auk þess sleppur maður við að nota þessa svolítið ruglingslegu röð: j,i. Svo er enn einfaldari leið að skrifa:

(X,Y) = meshgrid(x,y)
Z = f(X,Y)

og í framhaldi plt.contour(X, Y, Z). Til að það virki þarf að gæta þess að forrita fallið f þannig að það geti tekið við vigur-viðföngum, sér í lagi þarf að nota NumPy útgáfur af stærðfræðiföllum sbr. kafla 10.3 í Fyrirlestrarnótum um Python.

Stilling á útliti hæðarlínumynda

plt.contour(x, y, z, stiki=gildi,...) teiknar hæðarlínur og setur ýmsa stillingarstika. Helstu stikar eru:

• levels tala með fjölda hæðarlína sem teiknaðar eru, eða vigur með gildum fallsins sem hæðarlínurnar eru teiknaðar fyrir.

• colors litur til að lita allar hæðarlínurnar eins eða vigur af litum, t.d. ['r', 'g', 'b'] til að lita þær rauða, græna, bláa, rauða, græna, bláa,…

• linewidths línubreiddir eða línubreidd

• cmap tilgreinir litaskala (colormap) til að nota; sjá kafla A4.

c = plt.contour(...) og plt.clabel(c, fmt="%.0f") merkir hverja hæðarlínu með gildi fallsins á henni. Líka má merkja t.d. aðeins neðstu 5 línurnar með plt.clabel(c, c.levels[:5])

Auk þess að nota stillingarviðföng í kalli á contour er hægt að stilla stærð myndar, bæta við titli, merkingum á ása o.fl. með ýmsum Matplotlib- skipunum sem lýst er í 9. kafla í Fyrirlestrarnótum um Python.

Sýnidæmi: Hæðarlínur falls

Eftirfarandi forrit teiknar hæðarlínur fallsins \(f(x,y) = x^2 + 4y^2\) á rétthyrningnum \([-3,3] \times [-2,2]\). Takið eftir hvernig snið merkinga í clabel er stillt með fmt-stika og einnig skrefin á merkingum y-áss með plt.yticks.

Forrit 1 Hæðarlínur

def f(x,y): return x**2 + 4*y**2

plt.figure(figsize=(6,3))
x = np.linspace(-4,4,100)
y = np.linspace(-2,2,50)
z = np.array([[f(xi,yj) for xi in x] for yj in y])
c = plt.contour(x, y, z, 8, colors = 'brown')
plt.clabel(c, fmt="%.0f");
plt.yticks(np.arange(-2, 3))
plt.axhline(c='k')
plt.axvline(c='k');

Mynd 1: Kvaðratískt fall með lággildi í (0,0)

Hæðarsvæði með skipuninni contourf

plt.contourf(x, y, z, stiki=gildi…) teiknar tvívítt fall með því að lita svæði eftir gildi þess. Svæði sem eru á milli tveggja samliggjandi hæðarlína sem plt.contour mundi teikna litast með sama lit og contour mundi lita neðri línuna með. Stikarnir x, y, z eru eins og lýst er fyrir contour, og stillingarstikarnir levels og colors sömuleiðis. Hinsvegar er enginn linewidths stiki og ekki hægt að nota clabel.

Eftirfarandi mynd fæst með contourf í forriti sem er svipað og Forrit 1. Öfugt við mynd 1 er ekki hægt að sjá gildi fallsins á þessari mynd. Til þess þarf að bæta við litastiku, en um þær er fjallað í kafla A5.

Mynd 2: Hæðarsvæðamynd

Hægt er að nota contourf til að búa til myndir þar sem litirnir breytast samfellt (ekki ósvipað og á heimskortinu á mynd 1.4) með því nota hátt gildi á levels stika, t.d. á bilinu 100–200. Slíkar myndir má líka búa til með fallinu imshow, sbr. fyrsta sýnidæmið í kafla A5.

A2. Fjarvíddarmyndir

Netmyndir með plot_surface

Til að teikna netmyndir þarf smá undirbúning: Í fyrsta lagi þarf að flytja inn klasann (class) Axes3D í einingunni mpl_toolkits.mplot3d með skipuninni:

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D,

í öðru lagi þarf að búa til fylki X og Y sem spanna teiknisvæðið með skipuninni

(X,Y) = np.meshgrid(x,y)

þar sem x og y eru vigrar eins og í kafla A1 og í þriðja lagi þarf að smíða sérstaklega þrívítt hnitakerfi (ása; axes) til að teikna í, með skipuninni:

ax = plt.subplot(projection = '3d')

Teikniskipunin plot_surface sem teiknar sjálfa netmyndina er svo aðferð (method) í ásunum ax þannig að það er kallað á hana með ax.plot_surface. Þetta er sýnt er í eftirfarandi dæmi, sem teiknar fallið sem gefið er aftast í kafla 1.3. Takið eftir að eins og þegar einvíð föll voru teiknuð þarf að nota np-útgáfur af innbyggðu föllunum, sem sé np.sqrt en ekki math.sqrt, til að fallsgildi allra staka í vigrum reiknist í einu lagi.

Forrit 2 Netmynd

def f(x,y):
    r = np.sqrt(x**2 + y**2)
    return (1 + 4*np.sin(r))/(1 + 4*r)

x = y = np.linspace(-10,10,30)
Z = np.array([[f(xi,yj) for xi in x] for yj in y])
(X,Y) = np.meshgrid(x, y)
plt.figure(figsize=(12,5))
ax = plt.subplot(projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, Z, edgecolor='k', shade=False, color='w');

Mynd 3: Matplotlib netmynd

Athugið

Tæknilega eru ásarnir ax hlutur (object) af klasatagi (class type) Axes3DSubplot, eða með öðrum orðum eintak af taginu Axes3DSubplot, sem er klasi sem erfist frá klasanum Axes3D sem aftur erfist frá Axes. Þegar klasi er fluttur inn eru skipanir í honum framkvæmdar og því getur innflutningur á klösum haft ýmsar hliðarverkanir. Að flytja inn klasann Axes3d hefur þá hliðarverkun að plt.subplot ræður við að smíða þrívíða ása.

Upplýstar myndir með plot_surface

Skipunin sem notuð er til að teikna netmyndir, plot_surface nýtist líka til að teikna upplýstar myndir. Eftirfarandi mynd fæst með forriti sem er eins og Forrit 2 fyrir utan að aftasti stikinn sem linspace fær er 100 og síðustu línunni er skipt út með:

ax.plot_surface(X,Y,Z,color='wheat',rcount=100,ccount=100,antialiased=False)

Mynd 4: Upplýst hattfall

A3. Teikning stigla

Eins og nefnt var aftast í kafla 1.6 má teikna stigla með fallinu quiver.

Sýnidæmi: Teikning stigla

Forritið hér að neða teiknar hæðarlínur fallsins

\[f(x,y) = x^2 + 4y^2\]

sem teiknað var í kafla A1, og jafnframt stigla þess í sérhverjum punkti í rétthyrndu neti.

Skýringar

• fx og fy reikna hlutafleiður f og þar með stigulinn (quiver-skipunin vill fá x- og y-hnit vigranna sem á að teikna aðskilin í u og v)

• X3 og Y3 eru með þriðja hvert stak úr X og Y (til að teikna ekki of margar örvar)

• Eins og í forritinu Netmynd (Forrit 2) þarf breytu með hnitakerfinu, ax, og hér er náð í hana með plt.gca() (get current axes)

• Með ax.set er hægt að stilla marga hluti í einu.

• Nauðsynlegt er að setja aspect='equal' til að til að stefnur örvanna verði réttar. Hér fæst fyrir vikið stigull sem er hornréttur á hæðarlínurnar, eins og vera ber.

def f(x,y):
    return x**2 + 4*y**2

def fx(x,y):
    return 2*x

def fy(x,y):
    return 8*y

X = np.linspace(-4,4,50)
Y = np.linspace(-2,2,25)
X3 = X[::3]
Y3 = Y[::3]

z = np.array([[f(x,y) for x in X]
                      for y in Y])
u = np.array([[fx(x,y) for x in X3]
                       for y in Y3])
v = np.array([[fy(x,y) for x in X3]
                       for y in Y3])

c = plt.contour(X, Y, z, 12, colors='red')

ax = plt.gca()
ax.set(aspect = 'equal',
       yticks = np.arange(-2,3,1))

plt.clabel(c, fmt="%.0f");
plt.quiver(X3, Y3, u, v);

Athugið

Til að skoða lista yfir alla eiginleika (properties) sem hægt er að stilla með ax.set má gefa skipunina plt.getp(ax)

Æfing: Rosenbrock-stigull

1. Reiknið (á blaði) stigul falls Rosenbrocks

   \[f(x_0, x_1) = (1 - x_0)^2 + 100(x_1 - x_0^2)^2\]

2. Reiknið í framhaldi \(\nabla f(-1,1)\), \(\nabla f(0,1)\) og \(\nabla f(1,1)\). Athugið hvort niðurstöðurnar rími við eftirfarandi hæðarlínumynd af fallinu, t.d. með því að rissa upp á blaðið stiglana þrjá og hæðarlínur í grennd við þá (styttið þá samt svo þeir komist fyrir á blaðinu..

Mynd 5: Fall Rosenbrocks

A4. Litaskalar

Litaskalar (colormaps) í tölvugrafík eru ýmist notaðir til að sýna gildi á samfelldum breytum (föllum) eða á flokkunarbreytum sem geta tekið eitt af nokkrum gildum (oftast innan við tíu). Myndirnar sem um ræðir eru oft hæðarlitamyndir, en geta líka verið af annarri gerð, t.d. línurit, punktariti eða súluriti.

Matplotlib hjálpin geymir yfirlit yfir innbyggða litaskala og myndir af þeim. Hjálpin flokkar litaskalana í nokkra yfir- og undirflokka. Yfirflokkarnir eru:

• runu- (sequential)

• tvístefnu- (diverging)

• lotu- (cyclic)

• eigindlegir (qualitative)

Fyrstu þrír flokkarnir eru fyrir samfelldar breytur en sá síðasti fyrir flokkunarbreytur. Tvístefnuskalar gætu e.t.v. hentað til að sýna föll með tiltekinn núllpunkt (frost og hita), og þriðji flokkurinn fyrir lotubundin föll. Auk fyrrnefndra fjögurra flokka er í hjálpinni flokkur með yfirskrift Ýmsir skalar (miscellaneous) og þar á meðal eru nokkrir skalar sem henta fyrir samfelldar breytur. Þeir eru settir í flokk með runuskölunum hér.

Skipanir sem nota litaskala

Hægt er að tilgreina colormap með þeim skipunum sem geta litað gögn eftir tölugildi. Meðal þessara skipana er skipunin plt.scatter sem fjallað er um í 9. kafla í Fyrirlestrarnótum um Python og auk þess skipanirnar í köflum A1–A3 hér á undan:

• plt.contour

• plt.contourf

• plt.quiver

• plot_surface

Hægt er að velja með hvaða skala er litað með skipuninni:

plt.set_cmap(skali)

þar sem skali er annaðhvort strengur með nafni litaskala eða hlutur af tagi Colormap (nánar tiltekið matplotlib.colors.Colormap); sjá forritið aftast í kafla 1.3. Önnur leið er að tilgreina skalann um leið og teiknað er, en allar framangreindar skipanir eru með valkvæðan stika, cmap sem nota má til að velja skalann.

Samfelldir skalar

Sjálfgefni skalinn í Matplotlib kallast viridis og hér er mynd af honum:

Mynd 6: Viridis litaskalinn

Skalinn byrjar með dökkbláum lit og færir sig samfellt í gegn um bláa og græna liti yfir í gulan. Hægt er að skipta samfelldu skölunum í tvo flokka: Þá sem eru enda á hvítum lit eða a.m.k. mjög ljósum lit og þá sem enda á aðeins dekkri lit. Skalarnir sem enda á (nánast) hvítum lit henta ekki til að teikna punktarit eða línurit á hvítum bakgrunni, en gætu hentað fyrir hæðarlitamyndir (sbr. landakort þar sem hæstu fjallatindar eru hvítir). Meðal hinna skalanna eru nokkrir marglitir, sumir með liti í svipaðri röð og í regnboganum og nokkrir þar sem allir litirnir hafa sama tón eða annan af tveimur. Eftirfarandi mynd sýnir hæðarlínur fallsins \(f(x,y) = \sqrt{x^2 + 3y^2}\) með 15 skölum í seinni flokknum:

Mynd 7: Samfelldir litaskalar sem henta fyrir línurit og punktarit

(vinnubók til að búa myndina til). Af ein- og tvítóna skölum líta t.d. copper, winter og viridis (sá sjálfgefni) vel út, en af litríkari skölum t.d. gnuplot, rainbow og jafnvel nipy_spectral.

Flokkunarskalar

Flokkunarskalarnir (þeir eigindlegu, qualitative) sem eru innbyggðir í Matplotlib eru m.a. Accent, Dark2 og Set2 með 8 litum hver, Set1 með 9 litum, tab10 með 10 litum, Set3 með 12 litum og tab20 með 20 litum. Litir þessara skala eru misvel aðgreinanlegir, en Set1 er allgóður fyrir allt að 9 liti (með því að dekkja gula litinn í honum smávegis), og tab20 er þokkalega góður óbreyttur fyrir allt að 20 liti.

Mynd 8: Nokkrir flokkunarskalar

Sá galli er á notkun þessara innbyggðu litaskala er að þeir duga illa nema fjöldi hópa sem teikna skal sé nákvæmlega jafn fjöldanum í skölunum. Til að bæta úr því má búa til litaskala með tilteknum litafjölda, allt að 20, með eftirfarandi falli:

def qcmap(n):
   # Fjölgun scatter-lita upp í allt að 20
   # Bætið viðfangi 'cmap=qcmap(n)' við plt.scatter kall
   import matplotlib.colors as clrs
   use_cmap = 'Set1' if n <= 9 else 'tab20'
   cmap = plt.get_cmap(use_cmap)(range(n))
   if n > 5: cmap[5] = [0.95, 0.75, 0, 1]  # dekkja gula litinn
   return clrs.LinearSegmentedColormap.from_list("",cmap,n)

Dæmi um flokkun hópa og notkun þessa falls er í sýnidæminu aftast í næsta kafla.

A5. Litastikur

Við höfum þegar séð nokkur dæmi um litastikur (colorbars), í kafla 13.6 og í verkefni 15 í Python-nótunum og aftast í kafla 1.3 í þessum nótum. Hlutverk litastika er að sýna hvaða talnagildi eða fallsgildi samsvara hvaða lit og að vissu leyti svara þau til merkinga x-ás og y-ás sem sýna hvar í planinu tiltekin hnit eru. Til að setja litastiku með sjálfgefnum stillingum hægra megin við þá mynd sem síðast var teiknuð má nota aðra af eftirfarandi skipunum:

colorbar()
cb = colorbar()

Hluturinn cb verður af taginu Colorbar. Í hæðarsvæða- og hæðarlínumyndum er sjálfkrafa notaður flokkunarskali (reyndar ekki einn af þeim sem taldir eru í kaflanum á undan, heldur eru notaðir jafnt dreifir litir úr viridis eða skala sem valinn hefur verið með plt.set_cmap). Næstu töflur sýna nokkrar af þeim stillingum sem í boði eru; sú fyrri sýnir stika í colorbar og sú seinni stillingar sem nota cb.

Tafla 1: Helstu stikar í colorbar

aspect=10	breidd litastikunnar verður 1/10 af lengd hennar (sjálfgefið 1/20)
fraction=0.1	stillir stærð stiku (hlutfall stikubreiddar af breidd myndar).
drawedges=True	teiknar svartar línur á litamörkum í flokkunarskala
orientation='horizontal'	sýna stikuna lárétta neðan við mynd
pad=0.10	stilla bil milli myndar og stiku (sjálfgefið 0.05 eða 0.15 fyrir undirstiku)
label=strengur	setur textaskýringu við stikuna
ticks=[1,2,3,4]	setja tick-merkingar við talnagildi 1, 2, 3, 4
format="%.2f"	sýna tick merkingar með 2 aukastöfum

Tafla 2: Litastikustillingar eftirá

cb.set_ticklabels([1,2,3]) cb.set_ticklabels(["A","B","C"])	tick-merkingar verða 1, 2, 3 eða A, B, C
cb.ax.tick_params(size=0)	lengd strika við tick-merkingar verða 0 punktar (þau hverfa)
cb.ax.set_ylim(ybeg, yend)	setja talnagildi þar sem stikan byrjar og endar
cb.outline.set_visible(False)	fjarlægja ramma utan um stiku

Eftirfarandi sýnidæmi sýna ýmsar af framangreindum skipunum að verki. Notaðar eru mismunadi aðferðir til að sýna fallið sem teiknað er á mynd 7, \(f(x,y) = \sqrt{x^2 + 3y^2}\) (en reyndar ekki á sama svæði og þar).

Skipanir sem búa til X, Y og Z fylki sem lýsa fallinu eru aðeins hafðar með í fyrsta sýnidæminu, og vigur F með fallsgildum á hæðarlínum og mörkum hæðarsvæða er líka bara búinn til þar. Gildi F eru einnig merkt inn á tilheyrandi litastikur.

Sýnidæmi: Samfelld litamynd með imshow

def f(x,y):
    return np.sqrt(x**2 + 3*y**2)

x = np.linspace(-2, 7, 100)
y = np.linspace(-1, 6, 100)
(X,Y) = np.meshgrid(x,y)
Z = f(X,Y)
zmax = np.max(Z)
F = range(0, math.ceil(zmax)+1)

plt.imshow(Z, cmap="gnuplot", extent=(-2,7,-1,6), origin='lower')
plt.xticks(range(-2,8))
plt.colorbar(aspect=15, ticks=F, fraction=0.05)
plt.clim(0,zmax)

Nokkur atriði þarfnast útskýringar:

• Sjálfgefin mörk litaskala er spann Z-gildanna, en þar sem það nær ekki alveg niður í núll vegna afrúnningsskekkju er bætt við clim-skipun (color limits) til að hafa núll með.

• Án stillingarinnar origin='lower' mundi núllpunktur hnitakerfisins vera efst til vinstri og y-ásinn stefna niður. Það væri viðeigandi þegar skipunin imshow er notuð til að birta myndir úr myndaskrám (t.d. ljósmyndir).

• Loks dugar fraction=0.05 til að litastikan hafi rétta lengd. Þessi stilling er reyndar dálítið dularfull og öll gildi frá 0.05 til 0.12 gefa stikunni rétta lengd. Flóknari aðferð til að fá stiku af réttri lengd er rædd í þessu stackoverflow-svari.

Sýnidæmi: Hæðarsvæðamynd með contourf

plt.contourf(X, Y, Z, levels=F, cmap="gnuplot")
plt.clim(0,zmax)
plt.xticks(range(-2,8))
cb = plt.colorbar(ticks=F, label='fallsgildi')

Þetta forrit skýrir sig að mestu sjálft, og hér er myndin sem það býr til:

Sýnidæmi: Hæðarlínumynd með contour

lev = F[1:-1]
plt.contour(X, Y, Z, levels=lev, cmap="gnuplot", linewidths=3)
plt.xticks(range(-2,8))
cb = plt.colorbar(aspect=15, ticks=lev)
cb.outline.set_visible(False)
cb.ax.tick_params(size=0)
cb.ax.set_ylim(min(lev)-0.1, max(lev)+0.1);

Í lev er bæði fyrsta og síðasta fallsgildinu í F sleppt. Þessi gildi þarf að hafa með í contourf, því þau afmarka lægsta svæðið og það hæsta, en ekki í contour sem aðeins teiknar mörk milli svæða. Án öftustu línunnar mundu efstu og neðstu strikin í litastikunni verða of mjó.

Hér er Colab-vinnubók með framangreindum sýnidæmum. Í vinnubókinni eru tveir forritsbútar í viðbót sem teikna sama fall, annar sýnir hvernig nota má contourf til að búa til samfellda litamynd og hinn hvernig hægt er að afmarka hæðarsvæði með mjóum svörtum línum.

Æfing: Litaskalar og -stikur

Opnið vinnubókina með sýnidæmunum og prófið ykkur áfram með að breyta stillingum myndanna.

Aftast í vinnubókinni er svo eftirfarandi sýnidæmi sem sýnir notkun flokkunarskala og fallsins qcmap sem gefið var aftast í kafla A4.

Sýnidæmi: Flokkun ára eftir veðri

(ár,hiti,úrkoma) = np.loadtxt("http://cs.hi.is/python/hiti-urkoma.txt").T
kóði = []
for (h,ú) in zip(hiti,úrkoma):
  kóði.append(
    0 if h > 4.5 else
    1 if h < 3.5 else
    2 if ú > 700 else
    3)
lbl = ['hlý ár', 'köld ár', 'blaut ár', 'þurr ár'];
plt.scatter(hiti, úrkoma, c=kóði, cmap=qcmap(4))
plt.xlabel('hiti'), plt.ylabel('úrkoma')
cb = plt.colorbar(ticks=range(4))
cb.set_ticklabels(lbl)
cb.ax.tick_params(size=0)
plt.clim(-0.5,4-0.5)
plt.grid()

Æfing:

Breytið síðasta falli þannig árin séu flokkuð í 9 flokka.

Æfing:

Teiknið ýmsar myndir af fallinu sem gefið er aftast í kafla 1.3:

\[f(x,y) = \dfrac{3}{1+(x-2)^2+(y-3)^2} - \dfrac{4}{1 + x^2 + y^2}\]

(samfellt litaða mynd, hæðarsvæðamynd, hæðarlínumynd). Prófið nokkra litaskala, bætið við litastiku, fjölgið hæðarlínum, o.s.frv.