VERKEFNI¶

VV1. Hlutafleiður og stiglar¶

Reiknið með blaði og blýanti (og sýnið útreikninga eftir því sem við á):

\(f_x\) ef \(f(x,y) = e^{xy}\log(xy)\)
\(D_y \left((x+y^3)^5 - \sin(x-y)\right)\)
\(\dfrac{\partial}{\partial z} \dfrac{\log(xz)}{z^2}\)
\(\nabla f\) ef \(f(x,y) = x^2y + xy + y^3\)
\(\nabla f(1,2)\) ef \(f\) er fallið í lið 4
hlutafleiður fallsins \(f(x,y) = (x+1) \exp(y-x) - 3y\sin(xy)\)

VV2. Formengi og útgildi¶

Ákvarðið stærsta mögulegt formengi fallsins

\[f(x,y) = \sqrt{x^2-5x+6}\sqrt{y^2+5y-6}\]
Gefið er fallið

\[g(x,y) = 4x^2 - 4xy + 2y^2 + 10x - 6y\]

Fallið hefur einn útgildispunkt sem ákvarða skal (með blaði og blýanti). Er hann lággildi eða hágildi? (rökstyðjið)
Fallið \(f(x,y) = 6x^2 - 2x^3 + 3y^2 + 6xy\) hefur tvo punkta þar sem stigullinn er núll. Ákvarðið þessa punkta og beitið í framhaldi reglunni um Hesse-fylki og útgildi til að flokka þá.

VV3. Fall Rosenbrocks¶

Í æfingu í kafla A3 er „Fall Rosenbrocks“ skilgreint og sýnd mynd af því. Fallið er:

\[f(x, y) = (1 - x)^2 + 100(y - x^2)^2\]

Skrifið fall rosen(x,y) til að reikna gildi fallsins. Prófið að reikna \(f(-1.2, 1)\) sem ætti að gefa 24.2.
Teiknið hæðarlínumynd af Rosenbrock-fallinu með plt.contour á svæðinu \([-2,2] \times [-1,3]\). Látið hæðarlínurnar vera dökkbláar, merkið þær líkt og gert er í sýnidæminu Hæðarlínur falls í kafla A1, og hafið netlínur (grid) með. Til að fá góða mynd þarf bæði að reikna fallið á þéttu neti (t.d. \(300 \times 300)\) og velja hæðarlínugildin, sem fást með stikanum levels vel. Gildin \(0.2, 2^2, 6^2, 10^2,\ldots, 46^2\) gefa t.d. ágæta mynd. Þau má búa til með:

levels = np.append([0.2], np.arange(2,50,4)**2)

VV4. Próf í stærðfræði og reiknifræði 2019¶

Athugið að í þessu prófi voru engin hjálpargögn leyfileg nema reiknivél og formúlublað.

A. Python forrit

Skrifið Python fall með tvo stika, \(a\) og \(n\). Ef \(a < 0\) á fallið að skila \(a^n\) en ef \(a \geq 0\) á það að skila \(\sqrt{a^n+a}\). Skrifið tilheyrandi Python forrit sem kallar á fallið með \(a=2\), \(n=7\) og með \(a=-2\), \(n=3\) og skrifar út niðurstöðu þess í báðum tilvikum.
Skrifið Python fall eða reiknirit sem tekur inn einhvern lista af tölum og skilar staðsetningu fyrstu tölunnar sem uppfyllir jöfnuna \(x^5 + x = 246\). Ef engin slík tala finnst á fallið að skila –1. Skrifið tilsvarandi forrit eða reiknirit sem prófar fallið með listanum [5, 4, 3, 2, 1].

B. Gagnasafn

Gefin eru gögn \((x_i, y_i), i=1,\ldots, n\).

Skrifið formúlu falls sem hægt væri að lágmarka til að ákvarða bestu línu fyrir gagnasafnið. Teiknið skýringarmynd.
Skrifið formúlu falls sem lágmarka mætti til að ákvarða bestu parabólu fyrir gagnasafnið.
Nú kemur í ljós að \(y\) er ekki bara háð \(x\) heldur líka tímanum. Fyrir hvern punkt \((x_i, y_i)\) er gefinn tími, \(t_i\), og markmiðið er að smíða aðhvarfslíkan sem lýsir gögnunum sem best. Hvað kemur til greina að gera, og hvaða fall væri hægt að lágmarka? Hvaða stikar koma við sögu?

C. Hlutafleiður

Finnið hlutafleiðuna \(D_x (x^2 + y)^6 + e^{y-x}\)
Finnið stigul fallsins \(f(x,y) = x^3 + xy - y^3\)
Finnið fyrsta stigs Taylor-nálgun við \(f\) í punktinum \((1, 2)\).

D. Vigrar

Sýnið að vigrarnir \(a = (1, 2, 3)\), \(b= (4, 2, 0)\) og \(c = (1, 0, 1)\) séu línulega óháðir.
Hve margar gráður er hornið milli \(a\) og \(b\)?
Finnið vigur \(d\) þannig að \(a\), \(b\) og d verði línulega háðir.
Nokkrir ætla að leggja í púkk til að kaupa hlut. Ef hver borgar átta peninga eru þrír peningar afgangs en ef hver borgar sjö vantar fjóra upp á. Þetta dæmi mætti leysa með því að leysa jöfnu \(Ax=b\) þar sem \(A\) er \(2 \times 2\) fylki og \(b \in \Bbb{R}^2\). Ákvarðið \(A\) og \(b\) (ekki skal leysa jöfnuna).

E. Stofnstærð

Tegund lifir í max 3 ár. Hver núll-ára gefur 0.2 núll-ára afkvæmi árið eftir, hver eins árs 0.6 afkvæmi ári síðar og hver tveggja ára 0.8. 20% núll-ára eru dauð ári seinna, og dánartíðni eins árs er 50%. Í upphafi er stofnstærðin 2000 einstaklingar, 1000 núll-ára, 600 eins árs og 400 tveggja ára.

Ákvarðið Leslie-fylki fyrir þennan stofn.
Ákvarðið stofnstærð eftir eitt ár
Lýsið með orðum og/eða jöfnum aðferð sem nota mætti til að ákvarða hvort stofninn muni að lokum deyja út.

VV5. Flokkun veðurgagna með k-means reikniriti¶

Lesið skrána http://cs.hi.is/python/hiti-urkoma.txt inn í þrjá vigra: ár, hiti, úrkoma. Búið svo til \(n \times 2\) fylki úr hita og úrkomu (t.d. með X = np.c_[...]), staðlið það með whiten og flokkið í fjóra hópa með k-means reikniritinu. Hafið npr.seed() með svo sömu flokkar fáist við endurteknar keyrslur. Hverjir eru miðpunktar hópanna og hvað eru mörg ár í hverjum hópi?
Teiknið mynd af hópunum eins og gert er í sýnidæminu í kafla 3.6; merkið m.a. miðpunktana inn með stjörnum. Notið qcmap til að velja liti og bætið svo við rúðuneti og ásamerkingum sbr. aftasta sýnidæmið í kafla A5 í Viðauka A. Bætið loks við litastiku eins og þar er gert sem sýnir flokkun áranna, en þau ættu að flokkast gróflega í þurr, blaut, heit og köld.
Teiknið nú nýja mynd þar sem árin eru flokkuð í 10 hópa. Merkið hópana á litastiku þessarar myndar með tölunum 1–10 og setjið label á stikuna: Flokkur. Látið litastiku þessarar myndar líka vera breiðari en á myndinni í lið 2.

VV6. Hlutapróf 2 vorið 2021¶

A. Stiglar og lágmörkun

Gefið er fallið

\[f(x,y) = x^2y + 2xy^2 - 3xy + 4\]

punkturinn \(p = (1,1)\) og vigurinn \(u = (-1,-1)\).

Ákvarðið stigul \(f\) (þ.e.a.s. \(\nabla f\)), skrifið Python-fall sem finnur hann og notið það til að reikna \(\nabla f(p)\)
Lát \(u = (-1,-1)\). Notið Python-fallið úr a-lið líka til að reikna stefnuafleiðu \(f\) í stefnu \(u\) í punktinum \(p\). Búið líka til einhvern punkt og vigur úr afmælisdegi ykkar og reiknið tilsvarandi stefnuafleiðu.
Teiknið að lokum hæðarlínur \(f\) á svæðinu \([0,3] \times [0,2]\).

B. Er punktur í plani?

Í þessu dæmi á að skrifa Python-fall til að kanna hvort gefinn punktur liggi í gefnu plani í þrívíðu rúmi. Vegna þess að Python reiknar með endanlegri nákvæmni verður að láta duga að athuga hvort punkturinn sé í planinu eða mjög nálægt því.

Skrifið Python-fall næstum_eins(u,v) sem skilar sönnu (True) ef \(u \approx v\) í þeim skilningi að fjarlægðin milli vigranna \(u\) og \(v\) sé minni en \(10^{-8}\), en annars ósönnu (False). Prófið með pari vigra sem eru ólíkir og pari mjög líkra vigra.
Í kafla 2.11 er gefið skilyrði (merkt \((*)\)), sem nota má til að kanna hvort punktur (eða vigur) \(u\) sé í planinu sem tveir þverstaðlaðir vigrar \(a\) og \(b\) spanna, sbr. sýnidæmið aftast í greininni. Fyrir tvo vigra segir reglan að það gildi þ.þ.a.a.

\[u = (a\cdot u)a + (b\cdot u)b\]

Skrifið Python-fall í_plani(u,a,b) þar sem stikarnir eru vigrar í \(\Bbb R^3\) og \(\{a,b\}\) er þverstaðlaður grunnur. Það á að nota fallið úr a-lið til að rannsaka hvort \(u\) sé (næstum) í planinu sem \(a\) og \(b\) spanna.
Prófið fallið úr b-lið með vigrunum og punktunum sem gefnir eru í sýnidæminu, sem sé \(a = (0.48, 0.64, 0.60)\), \(b = (0.8, -0.6, 0)\), og svo:

\(a)\) \(u=A=(4,2,3)\) (í planinu) og
\(b)\) \(u=B=(6,3,2)\) (ekki í planinu).

C. Efnisspurningar

Skilgreinið graf tvívíðs falls (annaðhvort með orðum eða formúlu).
Gerðar eru daglegar mælingar á loftmengun á fimm stöðum í Reykjavík. Mælingarnar felast í að mæla styrk svifryks með tveimur kornastærðum auk fjögurra mengandi lofttegunda. Eitt fylki geymir mælingar á hverjum stað í hverjum mánuði. Hvað þarf stórt fylki til að geyma mælingar á Grensásvegi í apríl?
Reynt er að lýsa styrk brennisteinstvíoxíðs við Grensásveg sem falli af vindhraða í m/s og hitastigi í °C. Hvaða formengi væri skynsamlegt að nota til að teikna fallið ef ætlunin er að fanga flest veðurskilyrði, en ekki endilega öll.
Hver er munurinn á vigursviði og skalarsviði?
Lát \(f\colon\Bbb R^2\to\Bbb R\). Gerið grein fyrir muninum á almennu hlutafleiðunni \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) og hlutafleiðunni í tilteknum punkti, \(\dfrac{\partial f(a,b)}{\partial x}\)
Greindar hafa verið 3 Íslendingasögur með orðtíðni. Hornin á milli þeirra eru sýnd í eftirfarandi töflu:

Saga

A

B

C

A

–

68°

85°

B

68°

–

45°

C

85°

45°

–

Talið er að Snorri Sturluson hafi skrifað tvær af sögunum. Hvaða sögur er líklegast að það hafi verið miðað við þessar upplýsingar? Rökstyðjið örstutt.
Hver eftirfarandi falla \(f\colon\Bbb R^4\to\Bbb R\) eru línuleg? (Það þarf ekki að rökstyðja svörin, bara svara rétt).

\(a)\) \(f(x) = x\cdot x\)
\(b)\) \(f(x) = (3,4,5)\cdot x\)
\(c)\) \(f(x) = \text{staðalfrávik }x\)
\(d)\) \(f(x) = \text{minnsta stak }x\)
\(e)\) \(f(x) = \text{aftasta stak }x\)
Sýnið dæmi um tvo vigra í \(\Bbb R^3\) sem mynda grunn og annað dæmi um tvo vigra sem mynda ekki grunn.
Lýsið (eða nefnið) tvær aðferðir sem nota má til að finna útgildi falls, aðra stærðfræðilega og hina með aðstoð forrits.
Leysa skal hneppi af þremur jöfnum í þremur óþekktum. Hvaða skilyrði þarf fylki hneppisins að uppfylla til að til sé einkvæm lausn? Hvaða Python-fall mætti nota til að kanna þetta skilyrði?

VV7. Lágmörkun Rosenbrock-fallsins¶

Fall Rosenbrocks var kynnt í æfingu í kafla A3 og verkefni VV3. Algengt er að nota þetta fall til að prófa aðferðir í tölulegri bestun. Hér er forrit með hluta af lausn á VV3, sem skilgreinir fallið og teiknar hæðarlínur þess:

def rosen(x):
  res = (1-x[0])**2 + 100*(x[1] - x[0]**2)**2
  return res

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
plt.figure(figsize=(8,8))
x = np.linspace(-2,2,400)
y = np.linspace(-1,3,400)
[X,Y] = np.meshgrid(x,y)
Z = rosen([X,Y])
levels = [0.2, 5, 50] + list(range(200,2300,400))
c = plt.contour(X, Y, Z, levels = levels, colors = 'gray')
levstr = {l:str(l) for l in levels}
plt.clabel(c, fmt=levstr)
plt.xticks(range(-2,3))
plt.yticks(range(-1,4))
plt.grid("True")

Fallið er örlítið breytt frá VV3, það hefur bara einn stika, tveggja stak vigur x, með x- og y-gildunum þar sem reikna skal fallsgildið. Takið eftir hvernig fallsgildin eru reiknuð á \(400 \times 400\) neti í einu lagi með því að búa til lista úr fylkjunum X og Y. Uppflettitaflan levstr nýtist til að hafa hæðarlínumerkingarnar aukastafalausar, nema þá innstu.

Afritið forritið að ofan inn í Colab. Minnkið svæðið sem fallið er teiknað á um hálfa einingu á öllum hliðum, niður í ferninginn \([-1.5, 1.5] \times [-0.5, 2.5]\). Prófið að fjölga hæðarlínunum. Reiknið líka fallsgildið í \(x_0 = (-1.2, 1)\) sem ætti að vera 24.2 og \(x^* = (1,1)\) sem ætti að vera 0.
Í SciPy er pakki, optimize, fyrir tölulega bestun. Hann er oft fluttur inn með:

import scipy.optimize as opt

sem opt, m.a. að ofan. Í honum er fall, minimize, til að finna lággildi falla sem notast svona:
```
result = opt.minimize(f, x0)
xmin = result.x
```
þar sem f er fallið sem á að lágmarka, x0 er vigur með byrjunarágiskun og xmin er lággildispunkturinn. Notið minimize til að lágmarka fall Rosenbrocks með \(x_0 = (-1.2, 1)\). Skoðið hvað er í result og skrifið örfá orð um það.
minimize getur tekið inn viðbótarstika callback=cb, og þá kallar það á cb(xk) með núverandi ítrekunargildi xk í hverri ítrekun (í þessu tilviki er xk tveggja staka vigur). Notið þennan „fídus“ til að teikna ítrekunargildin inn á hæðarlínumyndina (hægt er að láta cb kalla á plt.scatter(x[0],x[1]))
minimize getur líka tekið inn stika method="aðferð", þar sem aðferð getur t.d. verið "L-BFGS-B", "CG", og "Powell" fyrir utan þá sjálfvöldu, "BFGS". Prófið og segið skipulega frá niðurstöðum. Prófið líka eina sjálfvalda aðferð (skoðið skjölun um minimize á netinu til að sjá möguleikana).

Athugasemd:

result.nit gefur fjölda ítrekana og result.nfev gefur fjölda kalla á rosen. Það er ágætt að sýna niðurstöðurnar (í textareitnum) með töflu yfir fjölda ítrekana og fallsgilda fyrir hverja aðferð (sjá kafla 3.6 í Python-nótum). Þegar bornar eru saman svona niðurstöður er venjan að reikna með að meginhluti útreikninganna sé í fallinu sjálfu svo maður ætti að leggja áherslu á samanburð á nfev.
Ákvarðið hlutafleiður og þar með stigul Rosenbrock-fallsins (á blaði) og forritið hann í Python falli rosg(x) sem skilar tveggja staka NumPy-vigri með stiglinum í punktinum \(x = (x_0, x_1)\). Ef rétt er forritað ætti stigullinn í \(x_0\) að vera \((-215.6, -88)\) og í \(x=(1,1)\) ætti hann að vera \((0,0)\).
Í minimize er jac-stiki til að tilgreina stigul fallsins sem á að lágmarka (jac er stytting á Jacobian, sem fyrir \(f\colon\Bbb{R^2}\to\Bbb{R}\) er samheiti við gradient). Ef stigullinn er nýttur svona ættu að sparast ítrekanir og (líklega) heildarreikningar. Prófið það með sjálfgefnu BFGS-aðferðinni, og kannið hve mikið sparast miðað við b-lið. Í samanburðinum má má gera ráð fyrir að stigull kosti eins og tvö fallsgildi. Segið í örfáum orðum frá niðurstöðunni.

VV8. Jarðskjálftar og eldgos á Reykjanesskaga 2021¶

Í þessu verkefni á að vinna með jarðaskjálftana sem urðu á Reykjanesskaga í febrúar og mars 2021, m.a. teikna þá inn á kort. Þið þurfið auk þess að búa til nokkur línurit og skrifa smá skýrslu um hvað þau segja okkur. Skráin http://cs.hi.is/python/skjalftar.txt er ættuð frá Veðurstofu Íslands og geymir lista yfir skjálftana, tíma, staðsetningu og stærð hvers skjálfta. Þið áttið ykkur strax á innihaldinu með því að smella á skrána.

Skjálftaskrá lesin. Byrjið á að lesa skrána inn í Pandas töflu, sbr. 15. kafla í Fyrirlestrarnótum um Python. Athugið að flestar NumPy- og Matplotlib-skipanir ráða við viðföng sem eru Pandas-dálkar, en það er líka hægt að nota values: Ef x = df.x.values skilar NumPy-vigri með dálkinum x. Tímadálkurinn þarf sérstaka meðhöndlun. Ef df.tími er Pandas-dálkur með tímasetningum á sama sniði og eru í skránni þá dugar eftirfarandi skipanir til að búa til Pandas runu með degi og broti úr degi frá miðnætti 24. febrúar fyrir hverja tímasetningu:
```
tími = pd.to_datetime(df.tími)
dagur1 = pd.to_datetime('24.02.2021', dayfirst=True)
dagur = (tími - dagur1).dt.total_seconds()/(60*60*24)
```
Línurit og töflur. Búið nú til nokkrar teikningar og/eða töflur af skjálftunum. Hér er gott að nota hugmyndaflugið: Þið getið t.d. gert súlurit yfir stærð skjálftanna (með 3.5–6 á x-ás og fjölda á y-ás), línurit yfir lengd sem falla af tíma og annað fyrir breidd (tvö línurit, t.d. hlið við hlið (með subplot sbr. kafla 13.6 í Python-nótunum), súlurit yfir fjölda pr. dag (eða viku), eða töflu yfir meðalstaðsetningu skjálfta í hverri viku. Ath. að á Reykjanesskaga er hver lengdargráða u.þ.b. 44% (þ.e. cos 64°) af breiddargráðu. Svo kemur líka vel til greina að breyta staðsetningunum fyrst í (x,y) hnit sbr. lið 3 áður en línurit af staðsetningum eru gerð.

Það er hægt að teikna rununa dagur á x-ás en svo er líka hægt að teikna tími beint með eftirfarandi falli sem merkir inn réttar dagsetningar:
```
def daga_xás():
  # Undirbýr teikningu tímasetninga á x-ás. Hentar fyrir tímabil frá
  # nokkrum dögum og upp í nokkrar vikur.
  import matplotlib as mpl
  ax = plt.gca()
  ax.xaxis.set_minor_locator(mpl.dates.HourLocator(byhour=[0]))
  ax.xaxis.set_major_locator(mpl.dates.HourLocator(byhour=[12]))
  ax.xaxis.set_minor_formatter(mpl.ticker.NullFormatter())
  ax.xaxis.set_major_formatter(mpl.dates.DateFormatter("%d.%m.%Y"))
  ax.tick_params(which='major', length=0)
  ax.tick_params(axis='x', labelrotation=90)
  ax.grid(axis='y')
  ax.grid(axis='x', which='minor')
```
Skrifið stutta skýrslu um hvað þessar myndir segja okkur, t.d. um þróun skjálftavirkninnar, hlutfall stórra og lítilla skjálfta eða hvað annað sem ykkur finnst áhugavert.
Breytt úr hnattstöðu í xy-hnit. Til að undirbúa teikningu skjálftanna inn á kort þarf að breyta staðsetningu þeirra úr hnattstöðu í svonend landshnit. Til þess má nota Python-pakkann pyproj. Hann þarf að setja upp sérstaklega með skipuninni:

!pip install pyproj

Eftir það er hægt að keyra eftirfarandi skipanir sem búa til fall hnatt2xy sem nota má með (x,y) = hnatt2xy(breidd,lengd) til að breyta úr lengd og breidd yfir í landshnit. Viðföngin og skilabreyturnar mega vera NumPy-vigrar.
```
from pyproj import Transformer as Trans
hnatt2xy = Trans.from_crs('latlon',3057).transform
```
Athugasemd: Um landshnitakerfið

Landshnitakerfi Íslands með auðkenni ISN93 er algeng kortavörpunin fyrir Íslandskort. Kerfið hefur einingu metra, og x- og y-ásar þess snúa í austur og norður eins og hefðbundið er um þá ása. Þetta kerfi er númer 3057 í svonendri EPSG skrá sem er alþjóðleg skrá um kortavarpanir sem margvíslegur kortahugbúnaður þekkir, m.a. Pyproj-pakkinn. Vörpunin er hornsönn keiluvörpun (conformal conic projection) Lamberts með miðpunkt í 65°N, 19°V sem hefur hnit (500000,500000) og viðmiðunarbreiddarbauga 64.25°N og 65.75°N. Tvær nýrri varpanir eru til, ISN2004 og ISN2016. Báðar hafa sama miðpunkt og breiddarbauga en hnit miðpunktsins eru önnur, (1700,300) km og (2700,300) km. Þessi munur gerir mögulegt að þekkja strax í sundur úr hvaða kerfi tiltekin hnit eru. Auk þess hafa hnit einstakra mælipunkta færst smávegis vegna landreksins sem er um hálfur metri frá 1993 til 2016.

Landakort með skjálftum. Næst á að merkja skjálftana inn á kort, Skráin https://cs.hi.is/python/reykjanesskagi.png geymir kort af Reykjanesskaga sem hægt er að nota sem bakgrunn til að teikna inn á. Með því að stilla mörk ása á sömu hnit og mörk kortsins er hægt að merkja skjálftana á nákvæmlega rétta staði. Kortaskráin er búin til með forriti sem heitir qgis, og henni fylgir svokölluð „world“ skrá (https://cs.hi.is/python/reykjanesskagi.pgw) með upplýsingum um hnit svæðisins sem kortið nær yfir. Hér fyrir neðan er fall sem les slíkt par af skrám og annað fall til að birta kortið sem bakgrunn í Matplotlib glugga.

Til að fá gott kort ætti að velja gluggabreidd sæmilega stóra svo kortið fylli upp breidd skjalsins sem þið búið til. Merkið svo skjálftana inn á kortið með scatter og látið stærð skjálftanna ráða stærð markeranna og jafnvel lit. Enn ein hugmynd er að sýna stærstu skjálftana með stjörnu.

Skrifið að lokum nokkur orð um það sem kortið segir ykkur, t.d. með vísun til örnefna (þið gætuð jafnvel skoðað önnur kort með fleiri örnefnum)

#KORTFÖLL
def lesa_qgis_kort(skrá):
    # Les kort úr skrá.png og skrá.pgw og skilar pari (kort,mörk) með þrívíðu
    # NumPy-fylki með kortinu ásamt fjögurra staka vigur með hnitum í kílómetrum
    # á vestur-, austur-, suður- og norðurbrúnum kortsins, mörk = [xv,xa,ys,yn].
    from PIL import Image
    from urllib.request import urlopen
    kort = Image.open(urlopen(skrá + ".png"))
    kort = np.flipud(kort)  # svo kort sé ekki á hvolfi
    world = np.loadtxt(skrá + ".pgw")
    (hæð,breidd) = np.shape(kort)[0:2]
    skali = world[0]  # metrar á díl (pixel) í png-skránni
    xv = world[4]
    xa = xv + skali*breidd
    yn = world[5]
    ys = yn - skali*hæð
    mörk = np.array([xv,xa,ys,yn])/1000  # breytt í km
    return (kort,mörk)

def sýna_kort(kort, mörk, gluggabreidd, dpi=100):
    # Birtir kort í Matplotlib glugga og setur mörk ása til samræmis við mörk
    # kortsins; gluggabreidd og dpi eru notuð til að búa gluggann til með
    # plt.figure kalli, sem gefur glugganum tilgreinda breidd (í tommum) og hæð
    # sem ákvarðast hlutfallslega eftir lögun kortsins
    (hæð, breidd) = np.shape(kort)[0:2]
    plt.figure(figsize=(gluggabreidd, gluggabreidd*hæð/breidd), dpi=dpi)
    plt.axis(mörk)
    plt.imshow(kort, origin='lower', extent=plt.axis())

Saga	A	B	C
A	–	68°	85°
B	68°	–	45°
C	85°	45°	–