VIÐAUKI A: Teikning tvívíðra falla í Python

A1. Hæðarlínu- og hæðarsvæðamyndir

Hæðarlínur með skipuninni contour

Aftast í kafla 1.3 var gefið dæmi um teikningu hæðarlína falls með fallinu plt.contour, þar sem flestir stýristikar höfðu sjálfgefni gildi. Dæmi sýndi þó hvernig hægt er að tilgreina litaskala og línubreidd: Litaskali sem heitir rainbow var valinn og ennfremur þriggja punkta línubreidd (1 punktur = 1/72 tomma \(\approx\) 3.5 mm). Hér verða nokkrir fleiri stýrimöguleikar kynntir, en fyrst skoðað hvað stikarnir x, y og z geyma og hvað fallið dularfulla np.meshgrid gerir.

Skipunin plt.contour(x, y, z) teiknar hæðarlínur fyrir yfirborð sem lýsir tvívíðu falli \(f\) þar sem

\[z_{ji} = f(x_i, y_j), i = 0,1,2..., j = 0,1,2...\]

Hér eru x og y vigrar með gildum sem spanna svæðið sem teikningin nær yfir (t.d. úr np.linspace) og z er fylki með gildum \(f\) á svæðinu. Hér hefur stærðfræðilegur ritháttur verið notaður fyrir fylkið og vigrana. Til að gefa z gildi í Python mætti nota:

(nx,ny) = (len(x), len(y))
z = np.zeros((ny,nx))
for j in range(ny):
   for i in range(nx):
      z[j,i] = f(x[i], y[j])

Ástæða þess að vísað er í \(z_{ji}\) en ekki \(z_{ij}\) er sú að hefðin býður að vísa í dálka fylkis (sem ganga frá vinstri til hægri) á eftir línum þess (\(z_{ji}\) er í \(j\)-tu línu og \(i\)-ta dálki), en í tvívíðu hnitakerfi kemur \(x\)-hnit (líka frá vinstri til hægri) á undan \(y\)-hniti.

Í staðinn fyrir for-lykkjur má líka nota comprehension.

z = [[f(xi,yj) for xi in x] for yj in y]

Þetta er bæði einfaldari kóði, og auk þess sleppur maður við að nota þessa svolítið ruglingslegu röð: j,i. Svo er enn einfaldari leið að skrifa:

(X,Y) = meshgrid(x,y)
Z = f(X,Y)

og í framhaldi plt.contour(X, Y, Z). Til að það virki þarf að gæta þess að forrita fallið f þannig að það geti tekið við vigur-viðföngum, sér í lagi þarf að nota NumPy útgáfur af stærðfræðiföllum sbr. kafla 10.3 í Fyrirlestrarnótum um Python.

Stilling á útliti hæðarlínumynda

plt.contour(x, y, z, stiki=gildi,...) teiknar hæðarlínur og setur ýmsa stillingarstika. Helstu stikar eru:

  • levels tala með fjölda hæðarlína sem teiknaðar eru, eða vigur með gildum fallsins sem hæðarlínurnar eru teiknaðar fyrir.

  • colors litir hæðarlínanna (vigur, t.d. [‚r‘, ‚g‘, ‚b‘] til að lita línurnar rauða, græna, bláa, rauða, græna, bláa,…) eða litur.

  • linewidths línubreiddir eða línubreidd

  • cmap tilgreinir litaskala (colormap) til að nota; sjá kafla xxx

c = plt.contour(...) og plt.clabel(c, fmt="%.0f") merkir hverja hæðarlínu með gildi fallsins á henni. Líka má merkja t.d. aðeins neðstu 5 línurnar með plt.clabel(c, c.levels[:5])

Auk þess að nota stillingarviðföng í kalli á contour er hægt að stilla stærð myndar, bæta við titli, merkingum á ása o.fl. með ýmsum Matplotlib- skipunum sem lýst er í 9. kafla í Fyrirlestrarnótum um Python.

Sýnidæmi: Hæðarlínur falls

Eftirfarandi forrit teiknar hæðarlínur fallsins \(f(x,y) = x^2 + 4y^2\) á rétthyrningnum \([-3,3] \times [-2,2]\). Takið eftir hvernig snið merkinga í clabel er stillt með fmt-stika og einnig skrefin á merkingum y-áss með plt.yticks.

Forrit 1 Hæðarlínur
def f(x,y): return x**2 + 4*y**2

plt.figure(figsize=(6,3))
x = np.linspace(-4,4,100)
y = np.linspace(-2,2,50)
z = np.array([[f(xi,yj) for xi in x] for yj in y])
c = plt.contour(x, y, z, 8, colors = 'brown')
plt.clabel(c, fmt="%.0f");
plt.yticks(np.arange(-2, 3))
plt.axhline(c='k')
plt.axvline(c='k');
../_images/ellipsur.jpg

Mynd 1: Kvaðratískt fall með lággildi í (0,0)

Hæðarsvæði með skipuninni contourf

plt.contourf(x, y, z, stiki=gildi…) teiknar tvívítt fall með því að lita svæði eftir gildi þess. Svæði sem eru á milli tveggja samliggjandi hæðarlína sem plt.contour mundi teikna litast með sama lit og contour mundi lita neðri línuna með. Stikarnir x, y, z eru eins og lýst er fyrir contour, og stillingarstikarnir levels og colors sömuleiðis. Hinsvegar er enginn linewidths stiki og ekki hægt að nota clabel. Til að fá bæði lituð svæði og teiknaðar línur á milli þeirra má kalla fyrst á contourf og svo contour með sömu stika.

Þessi mynd fæst með contourf í forriti sem er svipað og Forrit 1:

../_images/litaellipsur.png

Mynd 2: Hæðarsvæðamynd

Hægt er að fá myndir þar sem litirnir breytast samfellt (ekki ósvipað og í heimskortinu hér að framan) með því nota hátt gildi á levels stika, t.d. á bilinu 100–200.

A2. Fjarvíddarmyndir

Netmyndir með plot_surface

Til að teikna netmyndir þarf smá undirbúning: Í fyrsta lagi þarf að flytja inn klasann (class) Axes3D í einingunni mpl_toolkits.mplot3d með skipuninni:

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D,

í öðru lagi þarf að búa til fylki X og Y sem spanna teiknisvæðið með skipuninni

(X,Y) = np.meshgrid(x,y)

þar sem x og y eru vigrar eins og í kafla A1 og í þriðja lagi þarf að smíða sérstaklega þrívítt hnitakerfi (ása; axes) til að teikna í, með skipuninni:

ax = plt.subplot(projection = '3d')

Teikniskipunin plot_surface sem teiknar sjálfa netmyndina er svo aðferð (method) í ásunum ax þannig að það er kallað á hana með ax.plot_surface. Þetta er sýnt er í eftirfarandi dæmi, sem teiknar fallið sem gefið er aftast í kafla 1.3. Takið eftir að eins og þegar einvíð föll voru teiknuð þarf að nota np-útgáfur af innbyggðu föllunum, sem sé np.sqrt en ekki math.sqrt, til að fallsgildi allra staka í vigrum reiknist í einu lagi.

Forrit 2 Netmynd
def f(x,y):
    r = np.sqrt(x**2 + y**2)
    return (1 + 4*np.sin(r))/(1 + 4*r)

x = y = np.linspace(-10,10,30)
Z = np.array([[f(xi,yj) for xi in x] for yj in y])
(X,Y) = np.meshgrid(x, y)
plt.figure(figsize=(12,5))
ax = plt.subplot(projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, Z, edgecolor='k', shade=False, color='w');
../_images/netmynd-python.jpg

Mynd 3: Matplotlib netmynd

Athugið

Tæknilega eru ásarnir ax hlutur (object) af klasatagi (class type) Axes3DSubplot, eða með öðrum orðum eintak af taginu Axes3DSubplot, sem er klasi sem erfist frá klasanum Axes3D sem aftur erfist frá Axes. Þegar klasi er fluttur inn eru skipanir í honum framkvæmdar og því getur innflutningur á klösum haft ýmsar hliðarverkanir. Að flytja inn klasann Axes3d hefur þá hliðarverkun að plt.subplot ræður við að smíða þrívíða ása.

Upplýstar myndir með plot_surface

Skipunin sem notuð er til að teikna netmyndir, plot_surface nýtist líka til að teikna upplýstar myndir. Eftirfarandi mynd fæst með forriti sem er eins og Forrit 2 fyrir utan að aftasti stikinn sem linspace fær er 100 og síðustu línunni er skipt út með:

ax.plot_surface(X,Y,Z,color='wheat',rcount=100,ccount=100,antialiased=False)

../_images/lýstur-hattur.jpg

Mynd 4: Upplýst hattfall

A3. Teikning stigla

Eins og nefnt var aftast í kafla 1.6 má teikna stigla með fallinu quiver.

Sýnidæmi: Teikning stigla

Forritið hér að neða teiknar hæðarlínur fallsins

\[f(x,y) = x^2 + 4y^2\]

sem teiknað var í kafla A1, og jafnframt stigla þess í sérhverjum punkti í rétthyrndu neti.

Skýringar

  • fx og fy reikna hlutafleiður f og þar með stigulinn (quiver-skipunin vill fá x- og y-hnit vigranna sem á að teikna aðskilin í u og v)

  • X3 og Y3 eru með þriðja hvert stak úr X og Y (til að teikna ekki of margar örvar)

  • Eins og í forritinu Netmynd (Forrit 2) þarf breytu með hnitakerfinu, ax, og hér er náð í hana með plt.gca() (get current axes)

  • Með ax.set er hægt að stilla marga hluti í einu.

  • Nauðsynlegt er að setja aspect='equal' til að til að stefnur örvanna verði réttar. Hér fæst fyrir vikið stigull sem er hornréttur á hæðarlínurnar, eins og vera ber.

def f(x,y):
    return x**2 + 4*y**2

def fx(x,y):
    return 2*x

def fy(x,y):
    return 8*y

X = np.linspace(-4,4,50)
Y = np.linspace(-2,2,25)
X3 = X[::3]
Y3 = Y[::3]

z = np.array([[f(x,y) for x in X]
                      for y in Y])
u = np.array([[fx(x,y) for x in X3]
                       for y in Y3])
v = np.array([[fy(x,y) for x in X3]
                       for y in Y3])

c = plt.contour(X, Y, z, 12)

ax = plt.gca()
ax.set(aspect = 'equal',
       yticks = np.arange(-2,3,1))

plt.clabel(c, fmt="%.0f");
plt.quiver(X3, Y3, u, v);
../_images/quiver.jpg

Athugið

Til að skoða lista yfir alla eiginleika (properties) sem hægt er að stilla með ax.set má gefa skipunina plt.getp(ax)

Æfing

  1. Reiknið (á blaði) stigul falls Rosenbrocks

    \[f(x_0, x_1) = (1 - x_0)^2 + 100(x_1 - x_0^2)^2\]

  2. Reiknið í framhaldi \(\nabla f(-1,1)\), \(\nabla f(0,1)\) og \(\nabla f(1,1)\). Athugið hvort niðurstöðurnar rími við eftirfarandi hæðarlínumynd af fallinu, t.d. með því að rissa upp á blaðið stiglana þrjá og hæðarlínur í grennd við þá (styttið þá samt svo þeir komist fyrir á blaðinu..

../_images/rosen.jpg

Mynd 5: Fall Rosenbrocks

A4. Litaskalar

Litaskalar (colormaps) í tölvugrafík eru ýmist notaðir til að sýna gildi á samfelldum breytum (föllum) eða á flokkunarbreytum sem geta tekið eitt af nokkrum gildum (oftast innan við tíu). Myndirnar sem um ræðir eru oft hæðarlitamyndir, en geta líka verið af annarri gerð, t.d. línurit, punktariti eða súluriti.

Matplotlib hjálpin geymir yfirlit yfir innbyggða litaskala og myndir af þeim. Hjálpin flokkar litaskalana í nokkra yfir- og undirflokka. Yfirflokkarnir eru:

  • sequential

  • diverging

  • cyclic

  • qualitative

Fyrstu þrír flokkarnir eru fyrir samfelldar breytur en sá síðasti (eigindlegir skalar) fyrir flokkunarbreytur. Diverging skalar gætu e.t.v. hentað til að sýna föll með tiltekinn núllpunkt (frost og hita), og þriðji flokkurinn fyrir lotubundin föll. Auk fyrrnefndra fjögurra flokka er í hjálpinni flokkur með yfirskrift miscellaneous og þar á meðal eru nokkrir skalar sem henta fyrir samfelldar breytur og þeir eru settir í flokk með runuskölunum (sequential) hér.

Skipanir sem nota litaskala

Hægt er að tilgreina colormap með þeim skipunum sem geta litað gögn eftir tölugildi. Meðal þessara skipana eru:

  • plt.scatter

  • plt.contour

  • plt.contourf

  • plt.quiver

  • plot_surface

Allar þessar skipanir eru með valkvæðan stika, cmap sem hefur gildi sem má vera strengur með nafni litaskala eða hlutur af taginu colormap, og stýrir því að gögnin litist með uppgefnum skala.

Samfelldir skalar

Sjálfgefni skalinn í Matplotlib kallast ‚viridis‘ og hér er mynd af honum:

../_images/viridis.jpg

Mynd 6: Viridis litaskalinn

Skalinn byrjar með dökkbláum lit og færir sig samfellt í gegn um bláa og græna liti yfir í gulan. Hægt er að skipta samfelldu skölunum í tvo flokka: Þá sem eru enda á hvítum lit eða a.m.k. mjög ljósum lit og þá sem enda á aðeins dekkri lit. Skalarnir sem enda á (nánast) hvítum lit henta ekki til að teikna punktarit eða línurit á hvítum bakgrunni, en gætu hentað fyrir hæðarlitamyndir (sbr. landakort þar sem hæstu fjallatindar eru hvítir). Meðal hinna skalanna eru nokkrir marglitir, sumir með liti í svipaðri röð og í regnboganum og nokkrir þar sem allir litirnir hafa sama tón eða annan af tveimur. Eftirfarandi mynd sýnir hæðarlínur fallsins \(f(x,y) = \sqrt{x^2 + 3y^2}\) með 15 skölum í seinni flokknum:

../_images/litaskalar.jpg

Mynd 7: Samfelldir litaskalar sem henta fyrir línurit og punktarit

(vinnubók til að búa myndina til). Af ein- og tvítóna skölum líta t.d. copper, winter og viridis (sá sjálfgefni) vel út, en af litríkari skölum t.d. gnuplot, rainbow og jafnvel nipy_spectral.

Flokkunarskalar

Megindlegu litaskalarnir sem eru innbyggðir í Matplotlib eru m.a. Accent, Dark2 og Set2 með 8 litum hver, Set1 meðy9 litum, tab10 með 10 litum, Set3 með 12 litum og tab20 með 20 litum. Litir þessara skala eru misvel aðgreinanlegir, en Set1 er allgóður fyrir allt að 9 liti (með því að dekkja gula litinn í því smávegis), og tab20 er þokkalega góður óbreyttur fyrir allt að 20 liti.

Sá galli er á notkun þessara litaskala er að þeir duga illa nema fjöldi hópa sem teikna skal sé nákvæmlega jafn fjöldanum í skölunum. Til að bæta úr því má búa til litaskala með tilteknum litafjölda, allt að 20, með eftirfarandi falli.

[efni í vinnslu]