.. _vidauki-A: VIÐAUKI A: Teikning tvívíðra falla í Python =========================================== A1. Hæðarlínu- og hæðarsvæðamyndir ---------------------------------- .. rubric:: Hæðarlínur með skipuninni *contour* Aftast í kafla :numref:`myndir af tvívíðum föllum` var gefið dæmi um teikningu hæðarlína falls með fallinu ``plt.contour``, þar sem flestir stýristikar höfðu sjálfgefni gildi. Dæmi sýndi þó hvernig hægt er að tilgreina litaskala og línubreidd: Litaskali sem heitir *rainbow* var valinn og ennfremur þriggja punkta línubreidd (1 punktur = 1/72 tomma :math:`\approx` 3.5 mm). Hér verða nokkrir fleiri stýrimöguleikar kynntir, en fyrst skoðað hvað stikarnir x, y og z geyma og hvað fallið dularfulla ``np.meshgrid`` gerir. Skipunin ``plt.contour(x, y, z)`` teiknar hæðarlínur fyrir yfirborð sem lýsir tvívíðu falli :math:`f` þar sem .. math:: z_{ji} = f(x_i, y_j), i = 0,1,2..., j = 0,1,2... Hér eru ``x`` og ``y`` vigrar með gildum sem spanna svæðið sem teikningin nær yfir (t.d. úr ``np.linspace``) og ``z`` er fylki með gildum :math:`f` á svæðinu. Hér hefur stærðfræðilegur ritháttur verið notaður fyrir fylkið og vigrana. Til að gefa z gildi í Python mætti nota: .. code:: python (nx,ny) = (len(x), len(y)) z = np.zeros((ny,nx)) for j in range(ny): for i in range(nx): z[j,i] = f(x[i], y[j]) Ástæða þess að vísað er í :math:`z_{ji}` en ekki :math:`z_{ij}` er sú að hefðin býður að vísa í dálka fylkis (sem ganga frá vinstri til hægri) á eftir línum þess (:math:`z_{ji}` er í :math:`j`-tu línu og :math:`i`-ta dálki), en í tvívíðu hnitakerfi kemur :math:`x`-hnit (líka frá vinstri til hægri) á undan :math:`y`-hniti. Í staðinn fyrir ``for``-lykkjur má líka nota *comprehension*. .. code:: python z = [[f(xi,yj) for xi in x] for yj in y] Þetta er bæði einfaldari kóði, og auk þess sleppur maður við að nota þessa svolítið ruglingslegu röð: :code:`j,i`. Svo er enn einfaldari leið að skrifa: .. code:: python (X,Y) = meshgrid(x,y) Z = f(X,Y) og í framhaldi ``plt.contour(X, Y, Z)``. Til að það virki þarf að gæta þess að forrita fallið ``f`` þannig að það geti tekið við vigur-viðföngum, sér í lagi þarf að nota NumPy útgáfur af stærðfræðiföllum sbr. `kafla 10.3 `_ í Fyrirlestrarnótum um Python. .. rubric:: Stilling á útliti hæðarlínumynda ``plt.contour(x, y, z, stiki=gildi,...)`` teiknar hæðarlínur og setur ýmsa stillingarstika. Helstu stikar eru: - ``levels`` tala með fjölda hæðarlína sem teiknaðar eru, eða vigur með gildum fallsins sem hæðarlínurnar eru teiknaðar fyrir. - ``colors`` litir hæðarlínanna (vigur, t.d. ['r', 'g', 'b'] til að lita línurnar rauða, græna, bláa, rauða, græna, bláa,...) eða litur. - ``linewidths`` línubreiddir eða línubreidd - ``cmap`` tilgreinir litaskala (*colormap*) til að nota; sjá kafla xxx ``c = plt.contour(...)`` og ``plt.clabel(c, fmt="%.0f")`` merkir hverja hæðarlínu með gildi fallsins á henni. Líka má merkja t.d. aðeins neðstu 5 línurnar með ``plt.clabel(c, c.levels[:5])`` Auk þess að nota stillingarviðföng í kalli á ``contour`` er hægt að stilla stærð myndar, bæta við titli, merkingum á ása o.fl. með ýmsum Matplotlib- skipunum sem lýst er í `9. kafla `_ í Fyrirlestrarnótum um Python. .. admonition:: Sýnidæmi: Hæðarlínur falls :class: synidaemi Eftirfarandi forrit teiknar hæðarlínur fallsins :math:`f(x,y) = x^2 + 4y^2` á rétthyrningnum :math:`[-3,3] \times [-2,2]`. Takið eftir hvernig snið merkinga í ``clabel`` er stillt með ``fmt``-stika og einnig skrefin á merkingum y-áss með ``plt.yticks``. .. code-block:: python :caption: Hæðarlínur :name: hæðarlínuforrit def f(x,y): return x**2 + 4*y**2 plt.figure(figsize=(6,3)) x = np.linspace(-4,4,100) y = np.linspace(-2,2,50) z = np.array([[f(xi,yj) for xi in x] for yj in y]) c = plt.contour(x, y, z, 8, colors = 'brown') plt.clabel(c, fmt="%.0f"); plt.yticks(np.arange(-2, 3)) plt.axhline(c='k') plt.axvline(c='k'); .. figure:: myndir/ellipsur.jpg :align: center :name: ellipsumynd :figwidth: 11cm Kvaðratískt fall með lággildi í (0,0) .. rubric:: Hæðarsvæði með skipuninni *contourf* **plt.contourf(x, y, z, stiki=gildi...)** teiknar tvívítt fall með því að lita svæði eftir gildi þess. Svæði sem eru á milli tveggja samliggjandi hæðarlína sem ``plt.contour`` mundi teikna litast með sama lit og ``contour`` mundi lita neðri línuna með. Stikarnir ``x, y, z`` eru eins og lýst er fyrir ``contour``, og stillingarstikarnir ``levels`` og ``colors`` sömuleiðis. Hinsvegar er enginn ``linewidths`` stiki og ekki hægt að nota ``clabel``. Til að fá bæði lituð svæði og teiknaðar línur á milli þeirra má kalla fyrst á ``contourf`` og svo ``contour`` með sömu stika. Þessi mynd fæst með ``contourf`` í forriti sem er svipað og :numref:`hæðarlínuforrit`: .. figure:: myndir/litaellipsur.png :align: center :figwidth: 11cm Hæðarsvæðamynd Hægt er að fá myndir þar sem litirnir breytast samfellt (ekki ósvipað og í heimskortinu hér að framan) með því nota hátt gildi á ``levels`` stika, t.d. á bilinu 100–200. .. _fjarviddarmyndir: A2. Fjarvíddarmyndir -------------------- .. rubric:: Netmyndir með *plot_surface* Til að teikna netmyndir þarf smá undirbúning: Í fyrsta lagi þarf að flytja inn klasann (*class*) Axes3D í einingunni ``mpl_toolkits.mplot3d`` með skipuninni: ``from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D``, í öðru lagi þarf að búa til fylki ``X`` og ``Y`` sem spanna teiknisvæðið með skipuninni ``(X,Y) = np.meshgrid(x,y)`` þar sem ``x`` og ``y`` eru vigrar eins og í kafla A1 og í þriðja lagi þarf að smíða sérstaklega þrívítt hnitakerfi (ása; *axes*) til að teikna í, með skipuninni: ``ax = plt.subplot(projection = '3d')`` Teikniskipunin ``plot_surface`` sem teiknar sjálfa netmyndina er svo aðferð (*method*) í ásunum ``ax`` þannig að það er kallað á hana með ``ax.plot_surface``. Þetta er sýnt er í eftirfarandi dæmi, sem teiknar fallið sem gefið er aftast í kafla :numref:`Myndir af tvívíðum föllum`. Takið eftir að eins og þegar einvíð föll voru teiknuð þarf að nota np-útgáfur af innbyggðu föllunum, sem sé `np.sqrt` en ekki `math.sqrt`, til að fallsgildi allra staka í vigrum reiknist í einu lagi. .. code-block:: python :caption: Netmynd :name: netmyndaforrit def f(x,y): r = np.sqrt(x**2 + y**2) return (1 + 4*np.sin(r))/(1 + 4*r) x = y = np.linspace(-10,10,30) Z = np.array([[f(xi,yj) for xi in x] for yj in y]) (X,Y) = np.meshgrid(x, y) plt.figure(figsize=(12,5)) ax = plt.subplot(projection='3d') ax.plot_surface(X, Y, Z, edgecolor='k', shade=False, color='w'); .. figure:: myndir/netmynd-python.jpg :align: center :figwidth: 13cm Matplotlib netmynd .. attention:: Tæknilega eru ásarnir ``ax`` hlutur (*object*) af klasatagi (*class type*) ``Axes3DSubplot``, eða með öðrum orðum eintak af taginu ``Axes3DSubplot``, sem er klasi sem erfist frá klasanum ``Axes3D`` sem aftur erfist frá ``Axes``. Þegar klasi er fluttur inn eru skipanir í honum framkvæmdar og því getur innflutningur á klösum haft ýmsar hliðarverkanir. Að flytja inn klasann ``Axes3d`` hefur þá hliðarverkun að plt.subplot ræður við að smíða þrívíða ása. .. rubric:: Upplýstar myndir með *plot_surface* Skipunin sem notuð er til að teikna netmyndir, ``plot_surface`` nýtist líka til að teikna upplýstar myndir. Eftirfarandi mynd fæst með forriti sem er eins og :numref:`netmyndaforrit` fyrir utan að aftasti stikinn sem linspace fær er 100 og síðustu línunni er skipt út með: ``ax.plot_surface(X,Y,Z,color='wheat',rcount=100,ccount=100,antialiased=False)`` .. figure:: myndir/lýstur-hattur.jpg :align: center :figwidth: 13cm Upplýst hattfall .. _teikning-stigla: A3. Teikning stigla ------------------- Eins og nefnt var aftast í kafla :numref:`stigull` má teikna stigla með fallinu ``quiver``. .. admonition:: Sýnidæmi: Teikning stigla :class: synidaemi Forritið hér að neða teiknar hæðarlínur fallsins .. math:: f(x,y) = x^2 + 4y^2 sem teiknað var í kafla A1, og jafnframt stigla þess í sérhverjum punkti í rétthyrndu neti. .. sidebar:: Skýringar - ``fx`` og ``fy`` reikna hlutafleiður ``f`` og þar með stigulinn (quiver-skipunin vill fá x- og y-hnit vigranna sem á að teikna aðskilin í u og v) - ``X3`` og ``Y3`` eru með þriðja hvert stak úr ``X`` og ``Y`` (til að teikna ekki of margar örvar) - Eins og í forritinu Netmynd (:numref:`netmyndaforrit`) þarf breytu með hnitakerfinu, ``ax``, og hér er náð í hana með ``plt.gca()`` (*get current axes*) - Með ``ax.set`` er hægt að stilla marga hluti í einu. - Nauðsynlegt er að setja ``aspect='equal'`` til að til að stefnur örvanna verði réttar. Hér fæst fyrir vikið stigull sem er hornréttur á hæðarlínurnar, eins og vera ber. .. code-block:: python3 :name: stiglaforrit def f(x,y): return x**2 + 4*y**2 def fx(x,y): return 2*x def fy(x,y): return 8*y X = np.linspace(-4,4,50) Y = np.linspace(-2,2,25) X3 = X[::3] Y3 = Y[::3] z = np.array([[f(x,y) for x in X] for y in Y]) u = np.array([[fx(x,y) for x in X3] for y in Y3]) v = np.array([[fy(x,y) for x in X3] for y in Y3]) c = plt.contour(X, Y, z, 12) ax = plt.gca() ax.set(aspect = 'equal', yticks = np.arange(-2,3,1)) plt.clabel(c, fmt="%.0f"); plt.quiver(X3, Y3, u, v); .. figure:: myndir/quiver.jpg :width: 12cm :align: center .. attention:: Til að skoða lista yfir alla eiginleika (*properties*) sem hægt er að stilla með ``ax.set`` má gefa skipunina ``plt.getp(ax)`` .. Æfing .. hint:: 1. Reiknið (á blaði) stigul falls Rosenbrocks .. math:: f(x_0, x_1) = (1 - x_0)^2 + 100(x_1 - x_0^2)^2 2. Reiknið í framhaldi :math:`\nabla f(-1,1)`, :math:`\nabla f(0,1)` og :math:`\nabla f(1,1)`. Athugið hvort niðurstöðurnar rími við eftirfarandi hæðarlínumynd af fallinu, t.d. með því að rissa upp á blaðið stiglana þrjá og hæðarlínur í grennd við þá (styttið þá samt svo þeir komist fyrir á blaðinu.. .. figure:: myndir/rosen.jpg :width: 13cm :name: rosenmynd :align: center Fall Rosenbrocks A4. Litaskalar -------------- Litaskalar (*colormaps*) í tölvugrafík eru ýmist notaðir til að sýna gildi á samfelldum breytum (föllum) eða á flokkunarbreytum sem geta tekið eitt af nokkrum gildum (oftast innan við tíu). Myndirnar sem um ræðir eru oft hæðarlitamyndir, en geta líka verið af annarri gerð, t.d. línurit, punktariti eða súluriti. Matplotlib `hjálpin `_ geymir yfirlit yfir innbyggða litaskala og myndir af þeim. Hjálpin flokkar litaskalana í nokkra yfir- og undirflokka. Yfirflokkarnir eru: - sequential - diverging - cyclic - qualitative Fyrstu þrír flokkarnir eru fyrir samfelldar breytur en sá síðasti (*eigindlegir skalar*) fyrir flokkunarbreytur. *Diverging* skalar gætu e.t.v. hentað til að sýna föll með tiltekinn núllpunkt (frost og hita), og þriðji flokkurinn fyrir lotubundin föll. Auk fyrrnefndra fjögurra flokka er í hjálpinni flokkur með yfirskrift *miscellaneous* og þar á meðal eru nokkrir skalar sem henta fyrir samfelldar breytur og þeir eru settir í flokk með runuskölunum (*sequential*) hér. .. rubric:: Skipanir sem nota litaskala Hægt er að tilgreina colormap með þeim skipunum sem geta litað gögn eftir tölugildi. Meðal þessara skipana eru: - plt.scatter - plt.contour - plt.contourf - plt.quiver - plot_surface Allar þessar skipanir eru með valkvæðan stika, ``cmap`` sem hefur gildi sem má vera strengur með nafni litaskala eða hlutur af taginu *colormap*, og stýrir því að gögnin litist með uppgefnum skala. .. rubric:: Samfelldir skalar Sjálfgefni skalinn í Matplotlib kallast 'viridis' og hér er mynd af honum: .. figure:: myndir/viridis.jpg :width: 7cm :align: center Viridis litaskalinn Skalinn byrjar með dökkbláum lit og færir sig samfellt í gegn um bláa og græna liti yfir í gulan. Hægt er að skipta samfelldu skölunum í tvo flokka: Þá sem eru enda á hvítum lit eða a.m.k. mjög ljósum lit og þá sem enda á aðeins dekkri lit. Skalarnir sem enda á (nánast) hvítum lit henta ekki til að teikna punktarit eða línurit á hvítum bakgrunni, en gætu hentað fyrir hæðarlitamyndir (sbr. landakort þar sem hæstu fjallatindar eru hvítir). Meðal hinna skalanna eru nokkrir marglitir, sumir með liti í svipaðri röð og í regnboganum og nokkrir þar sem allir litirnir hafa sama tón eða annan af tveimur. Eftirfarandi mynd sýnir hæðarlínur fallsins :math:`f(x,y) = \sqrt{x^2 + 3y^2}` með 15 skölum í seinni flokknum: .. figure:: myndir/litaskalar.jpg Samfelldir litaskalar sem henta fyrir línurit og punktarit (`vinnubók `_ til að búa myndina til). Af ein- og tvítóna skölum líta t.d. *copper*, *winter* og *viridis* (sá sjálfgefni) vel út, en af litríkari skölum t.d. *gnuplot*, *rainbow* og jafnvel *nipy_spectral*. .. rubric:: Flokkunarskalar Megindlegu litaskalarnir sem eru innbyggðir í Matplotlib eru m.a. *Accent*, *Dark2* og *Set2* með 8 litum hver, *Set1* meðy9 litum, tab10 með 10 litum, Set3 með 12 litum og tab20 með 20 litum. Litir þessara skala eru misvel aðgreinanlegir, en Set1 er allgóður fyrir allt að 9 liti (með því að dekkja gula litinn í því smávegis), og tab20 er þokkalega góður óbreyttur fyrir allt að 20 liti. Sá galli er á notkun þessara litaskala er að þeir duga illa nema fjöldi hópa sem teikna skal sé nákvæmlega jafn fjöldanum í skölunum. Til að bæta úr því má búa til litaskala með tilteknum litafjölda, allt að 20, með eftirfarandi falli. [efni í vinnslu]