4  Grunnatriði Python

4.1  Breytur og tög

Breytur

Breyta (variable) er nafn á minnishólfi í tölvu, þar sem geyma má gildi (value). Gildin geta svo verið af ýmsu tagi, eða haft ýmis tög (types), og eins og fyrr segir eru þessi tög tengd gildunum en ekki breytunum sjálfum. Fyrir utan gildi sem geymd eru í breytum er líka talað um gildi sem útkomu úr útreikningi (computation) eða segð (expression), t.d. hefur segðin \(2 + 2\) gildið \(4\). Ósamsett gildi, t.d. 2, heitir fasti (constant)..

Grunntög

Hér er listi yfir grunntögin í Python og dæmi um fasta af hverju tagi:

• kommutala (float) t.d. 2.0, -543.62, 16e-22

• heiltala (int) t.d. 2, 123456789012345678901234567890, round(1e100); engin takmörk á stærð

• strengur (str) t.d. 'abc', "strengur með bili"; nota má hvort sem maður vill " eða '

• rökgildi (bool) , True og False

• „EkkertTag“ (NoneType), None sérstakt tag sem fæst m.a. úr föllum sem engu skila.

Önnur tög

Önnur algengustu innbyggð tög eru:

• Listar (list)

• Samantektir (tuple)

• Mengi (set)

• Ítrarar (iterator)

• Uppflettitöflur (dictionary)

Um öll þessi tög ef fjallað síðar í þessum fyrirlestrarnótum.

Nöfn breyta

Sú regla gildir að nafn breytu skal vera runa af bókstöfum, tölustöfum, og _, það má ekki byrja á tölu og það má ekki vera lykilorð í málinu eins og „for“ eða „return“. Í sumum forritunarmálum verða bókstafirnir að vera enskir, en sú takmörkun á ekki við um Python, Dæmi um lögleg breytunöfn eru: x_1, hæð, ∆.

Í nútímaforritum er algengt að nota fremur löng og lýsandi breytunöfn, t.d. radíus_hrings. Sú regla er oft brotin í inngangsnámskeiðum í forritun, því þar þvælast löng nöfn frekar fyrir en að hjálpa til, og dæmigert væri að nota r fyrir geisla hrings.

Æfing: Ólögleg breytunöfn

1. Hverjir eftirfarandi strengja eru ekki lögleg breytunöfn?

   1. 01rst

   2. rst01

   3. rst-01

   4. ρστ01

   5. Sérdeilis_afskaplega_langt_breytunafn_sem_ætti_að_reyna_að_stytta

   6. abc

   7. def

2. Googlið „python reserved words“. Hvaða lykilorð í málinu byrja á a eða b (og eru þar með dæmi um ólögleg breytunöfn)?

4.2  Aðgerðir og virkjar

Í stærðfræði er það að ákvarða útkomu segðar oft kallað aðgerð (operation). Grunnbyggingareiningar segða eru oftast einstæðar (unary) eða tvístæðar (binary) aðgerðir. Einstæð aðgerð er ýmist af taginu \(\circ x\) eða \(f(x)\) þar sem \(\circ\) er einstæður virki (operator), \(f\) er fall (function) og \(x\) er gildi. Tvístæð aðgerð er oft af taginu \(x \circ y\) þar sem \(x\) og \(y\) eru gildi og \(\circ\) er tvístæður virki. Gildin sem virkjar verka á eru stundum kallaðir þolendur (operands). Hér eru nokkur dæmi:

\[\begin{split}\begin{align} \textrm{einstæðar aðgerðir }& \begin{cases} \texttt{not p}\\ \texttt{–segð}\\ \texttt{fall(13)} \end{cases}\\ \textrm{tvístæð aðgerð: }&\text{a + 2} \end{align}\end{split}\]

Virkjar í Python eru flestir eins og algengast er í forritunarmálum, sér í lagi gildir það um venjulegu reikningsaðgerðirnar fjórar og samanburðarvirkja (relational operators) til að bera saman stærð. Forritunarmál skiptast svo í þrennt varðandi veldisvirkja, sum nota **, sum nota ^ og sum hafa engan sérstakan virkja fyrir veldishafningu (t.d. C, C++ og Java). Python fellur í fyrsta flokkinn.

Útkoma úr deilingu heiltalna er annað vandamál sem forritunarmál leysa með mismunandi hætti: sum skila kommutölu og sum skera aukastafi af og skila heiltölu. Í Python er málið leyst með því að hafa tvo virkja, / skilar kommutölu, en // lækkar útkomu í átt að núlli og skilar heiltölu. Virkjar til að finna afgang úr heiltöludeilingu eru nokkuð misjafnir milli forritunarmála, en virkinn sem Python notar, %, er algengastur.

Loks notar Python ensk orð, and, or og not, fyrir rökvirkja (logical operators), eins og boðað var í innganginum að framan, en ekki virkjana &&, || og ! sem mörg forritunarmál hafa.

Yfirlit

Hér er yfirlit yfir helstu virkja fyrir grunntögin í Python:

+ – * /          # eins og í flestum öðrum forritunarmálum
%                # x % y er afgangur úr deilingunni x//y (7%4 gefur 3)
**               # veldi (x**y táknar x í veldinu y)
//               # heiltöludeiling (aukastafir skornir af; 7//4 gefur 1)
< > <= >= == !=  # samanburðarvirkar (eins og í Java eða C)
and or not       # rökvirkjar
<< >> & ~ ^      # bitavirkjar, eins og í C, ~ er fyllitala og ^ er xor
str + str        # samskeyting strengja ("ab" + "12" gefur "ab12")
str*n            # fjölföldun strengs ("ab"*3 er "ababab")
(...)            # svigar stýra röð útreiknings

Útkoma úr blönduðum útreikningi

Grunnreglan um útkomu úr aðgerð með tveimur tölum er að ef önnur eða báðar eru kommutala þá er niðurstaðan kommutala, en ef báðar eru heiltölur kemur út heiltala. Aðalundantekningin er deiling, en deiling tveggja heiltalna með /-virkja gefur kommutölu.

Bent skal á að hér eru orðin heiltala og kommutala notuð í tölvufræðilegri merkingu, sem sé að viðkomandi gildi séu af heiltölu- eða kommutölutagi. Tölvur greina nefnilega á milli heiltölunnar 2 og kommutölunnar 2.0, þær eru af mismunandi tagi og geymdar með mismunandi bitarunum í minni tölvunnar.

Forgangsröð aðgerða

Eftirfarandi tafla sýnir röð sem aðgerðir eru framkvæmdar í ef svigar segja ekki til um aðra röð:

**             # frá hægri til vinstri, 4**3**2 = 4**(3**2) = 262144
*, /, // og %  # frá vinstri til hægri; x/y*z jafngildir (x/y)*z
+ og –         # frá v til h; a - b*c + d jafngildir (a - (b*c)) + d
samanburður    # frá v til h; x < y < z jafngildir x < y og y < z
not            # ath. að not x < y jafngildir not (x < y)
and
or

Æfing: Útreikningur

Byrjið á að opna tóma vinnubók.

1. Reiknið 7/4, 7//4, 8/4, 8//4

2. Búið til nýjan reit og reiknið þar 7 % 4 og 7**4. Hvað er verið að reikna?

3. Látið x = 5 og notið rökvirkja, samanburðarvirkja og afgangsvirkjann % til að kanna sannleiksgildi yrðinganna:

   \[\begin{split}& 2 < x < 7\text{ og }x \neq 10 \\ & x \text{ er slétt tala minni en } 8\end{split}\]

4.3  Gildisgjöf

Í stærðfræði er gildisgjöf (assignment) stundum táknuð með virkjanum \(:=\) (t.d. \(x := 1\)), og í reikniritum er stundum notuð ör (\(x \gets 1\)), og þá er einfalt jafnaðarmerki notað til að segja að tvær stærðir séu jafnar eða kanna hvort þær séu jafnar: „\(x = 1\)“ þýðir að breytan \(x\) (sem þegar hefur verið skilgreind) hafi gildið 1, og „ef \(x = 1\), þá…“ spyr hvort \(x\) sé 1. Í forritunarmálum er hinsvegar orðið mjög algengt að nota einfalt jafnaðarmerki fyrir gildisgjöf og tvö í röð fyrir samanburðarvirkjann == og Python er engin undantekning frá þeirri venju.

Gildisgjöf í Python er tvennskonar, hægt er að gefa breytu gildi og svo er líka hægt að uppfæra gildið sem breyta geymir, sem sé:

breyta = segð   # t.d. a = x + 3
breyta += segð  # leggur segð við breytu, t.d. er a += 3 jafngilt a = a + 3
breyta -= segð  # dregur frá; líka má *=, /= o.s.frv.

Það eru síðan nokkrir fleiri möguleikar sem verða útskýrðir betur í næstu köflum: Viðtakandi gildisins má vera stak í lista (t.d. L[i]) eða eiginleiki í hlut (punktur.x). Svo er líka hægt að gefa mörgum breytum gildi samtímis með því að skrifa:

breyta, breyta... = runa    # lengd runu þarf að vera jafn fjölda breyta
                            # Dæmi: x,y,z = 5,6,7
(breyta, breyta...) = runa  # annar möguleiki; dæmi (x,y,z) = (5,6,7)
(x,y) = (y,x)               # þessi skipun skiptir á gildum x og y

Æfing: Breytum breytt

Haldið áfram með vinnubókina úr síðustu æfingu og búið til nýja reiti eftir þörfum.

1. Lát x = 5 og reiknið svo p = x == 5 og q = x == 6.

2. Hækkið x um 2 með += virkja

3. Lát y = 10 og skiptið á x og y

4.4  Útprentun og innlestur

Aðalaðferðin til að prenta út gildi í Python er að nota print-fallið en í vinnubókum er líka hægt að nota fallið display, sem gefur stundum öðruvísi úttak, t.d. ef prentaðir eru strengir eða nöfn taga og falla (sjá næstu æfingu). Sumir pakkar sem þið gætuð átt eftir að kynnast, t.d. pandas og statmodels, skila stundum HTML-sniðnum töflum, og til að birta þær þarf að nota display.

• print(segð,segð...): Prentar segðirnar með bilum á milli

• print(..., sep=","): Prentar með kommum á milli

• print(..., end=" "): Endar með bili í stað nýrrar línu

• s = input('texti'): Prentar textann og bíður eftir að notandi slái inn streng og <Enter>; innslegið gildi → s.

Næsta grein (4.5) útskýrir svo hvernig sníða (formatera) má útprentuð gildi með svonefndum f-strengjum.

Æfing: input og print

1. Input-fallið skilar streng s, sem hægt er að breyta í tölu með t = float(s) eða k = int(x). Afritið eftirfarandi skipanir yfir í vinnubók. Notið tækifærið og prófið vinnubókarskipanir til að velja allt í reit og flytja það til vinstri (shift/tab, unindent), sbr. Tafla 3.4:. Keyrið, sláið inn tölu, og prófið líka að slá inn eitthvað annað en tölu.

   s = input('Sláðu inn tölu: ')
   t = float(s)
   print(t)
   

2. Afritið eftirfarandi forritsbút yfir í vinnubók. Keyrið, og prófið svo að nota end=";" og sep="," og prófið líka að breyta print í display.

   x = 2
   s = "AB"
   print(x, s)
   print(x*2, s*2)
   

4.5  F-strengir

F-strengir (f-strings) eru ætlaðir til útprentunar, og með þeim má tvinna saman strengi (textabúta), breytur og gildi (segðir). Breytur og gildi eru sett innan slaufusviga og þeim getur líka fylgt snið á eftir tvípunkti, sem sé:

f'texti {segð} texti {segð:snið} texti {segð:snið} ...'

Hér getur hver segð (expression) verið breyta eða útreiknuð stærð.

Snið

Sniðin sem geta fylgt segðum í f-strengjum gefa oftast heildarfjölda stafa og/eða fjölda aukastafa. Hér er tafla yfir nokkur möguleg snið:

Tafla 4.1: Nokkur möguleg snið í f-strengjum

{heiltala} {strengur} {kommutala}	Heiltala og strengur skrifast óbreytt og kommutala með jafnmörgum aukastöfum og þarf til að sýna nákvæmt gildi hennar.
{heiltala:n} {strengur:n}	Skrifað í n stafa breitt svið, tölur hægri-jafnaðar og strengir vinstri-jafnaðir
{heiltala:0n}	Skrifa töluna hægri-jafnaða í n-stafa breitt svið og fylla með núllum frá vinstri; {k:03} myndi skrifa 007 ef k=7
{heiltala:<n}	Vinstri-jafna heiltölu í n stafa svið
{strengur:>n}	Hægri-jafna streng í n stafa svið
{heiltala:^n} {strengur:^n}	Skrifa miðjað í n stafa svið
{kommutala:n}	Skrifa kommutölu með n „marktækum stöfum“ (significant digits)
{kommutala:.mf}	Skrifa kommutölu með m aukastöfum fyrir aftan kommu
{kommutala:n.mf}	Skrifa kommutölu með m aukastöfum í n stafa breitt svið
{kommutala:.mE}	Skrifa kommutölu á staðalformi með tugveldistáknun og m aukastöfum, t.d. skrifar {10**13:.2E} út 1.00E+13. Nota má n.mE til að skrifa í n stafa breitt svið, og n.me til að fá lítið e í útskriftina (t.d. 1.00e+13)

Tilgangurinn með að gefa heildarfjölda stafa (breidd sviðs) getur t.d. verið að láta dálka í töflu standast á: forritið í sýnidæminu í grein 4.10.2 notar f-strengi til að sníða („formatera“) litla töflu. Hér eru þrjú dæmi í viðbót:

f'hæð = {h}, breidd = {x*y}'
f"A = {A:.3f}, B = {B:.2f}"
f'Halló {nafn} og vertu velkomin(n)'

þar sem gert er ráð fyrir að h, x og y séu heiltölubreytur, A og B séu kommutölubreytur og nafn sé strengjabreyta. Forritið gæti t.d. skrifað út:

hæð = 10, breidd = 28
A = 6.281, B = 11.37
Halló Kristján og vertu velkomin(n)

Aflúsun með =-merki

Of nota menn (tímabundnar) útskriftarskipanir til að sýna gildi á breytum þegar verið er að aflúsa forrit, og þá er gott að hafa nafn breytunnar með, til dæmis:

print(f"fjöldi_staka = {fjöldi_staka}").

Til þæginda var í Python 3.8 bætt við þeim möguleika að stytta slíkar útskriftir svona:

print(f"{fjöldi_staka = }"

Ef segðin innan slaufusviganna endar á = er hún sjálf prentuð út áður en gildi hennar er prentað. Það má líka tilgreina fjölda aukastafa, t.d. mætti prenta A og B með print(f"{A = :.3f}, {B = :.2f}").

Aðvörun

F-strengir eru nýleg viðbót við Python, þeir komu í Python 3.6 í desember 2016. Í eldri Python-útgáfum er hægt að nota %-virkja. Forritið í sýnidæminu í grein 4.10.2 skrifar út
    print(f'{x}   {math.sqrt(x):.4f}   {x**2:2}')
en í staðinn gæti það haft:
    print('%d   %.4f   %2d' % (x, math.sqrt(x), x**2))
í öftustu línunni. Annar möguleiki í eldra Python er format-fallið. Sýnidæmisforritið mætti líka skrifa með
    print("{}   {:.4f}   {:2}".format(x, math.sqrt(x), x**2).

4.6  Föll notanda (ný föll)

Notendaföll (user-defined functions) eru næstum jafngömul forritun, og fyrstu forritunarmálin gáfu kost á skilgreiningu þeirra. Stundum er reyndar notað orðið undirforrit (subroutine) í stað falls einkum um föll sem engu skila (sbr. kafla 4.7), en í Python er yfirleitt bara talað um föll. Við höfum þegar séð dæmi um föll, í forritinu Collatz í kafla Forrit 2.2.

Af hverju þarf föll?

Það eru ýmsar ástæður til að skilgreina og nota ný föll, en þær mikilvægustu eru:

1. Að gera forritin skýrari, helst þannig að þau útskýri sig sjálf. Forsenda fyrir því er að valin séu góð nöfn á föllin, sem segja í orðum hvað föllin gera.

2. Að skipta stærri forritum upp minni einingar sem auðvelt er að útfæra (skrifa forrit fyrir) hverja um sig. Það getur verið erfitt að halda utan um alla þræði stórs forrits og muna hvað hver hluti þess gerir. En ef búið er að skrifa fall fyrir ákveðna aðgerð, og lýsa því hvað það gerir og hvernig kallað er á það, þá má gleyma öllu um hvernig það vinnur.

3. Að losna við endurteknar blokkir af sömu skipunum. Þessi ástæða birtist þannig að kallað er á fall oftar en einu sinni í sama forriti.

4. Að geta endurnýtt forritsbúta seinna. Þessi ástæða birtist þannig að kallað er á sama fall í mismunandi forritum.

Föllin í Collatz-forritinu falla í flokka 1 og 2. Til að láta þau falla vel í flokk 1 ættum við reyndar að skíra þau lengri nöfnum, t.d. finna_næstu_tölu_á_eftir og finna_collatz_runu_sem_byrjar_á. Ef það er gert mætti sem best sleppa athugasemdunum (skjölunarstrengjunum) fremst í þeim.

Skilgreining falls

Ný föll þarf að skilgreina áður en þau eru notuð, en annars eru engar skorður á hvar í forritinu það er gert. Svona lítur slík skilgreining út:

def fall(stiki, stiki...):
    # Lýsing falls (skjölunarstrengur)
    skipanir
    return g

Ef fallið skilar mörgum gildum endar það á: return (g1,g2...) Ef það skilar engu er return-skipun sleppt.

Skjölunarstrengir

Skjölunarstrengurinn er valkvæður en góð regla að hafa hann með. Annar möguleiki á að skrifa hann er að hafa hann innan þrefaldra gæsalappa eins og sýnt var í kafla 2.4. Slíkir skjölunarstrengir hafa kosti ef fallið er hluti af stærra fallasafni sem ætlað er til almennrar dreifingar og notkunar, því þeir gefa möguleika á að búa til skjölun um allt safnið sjálfkrafa.

Kallað á fall

g = fall(viðfang, viðfang...)  # á sér línu
h = 2*fall(viðföng) + 1        # má líka nota í segð
fall(viðföng)                  # ef fallið skilar engu
(g1,g2...) = fall(viðföng)     # ef fallið skilar mörgum gildum
g1,g2... = fall(viðföng)       # það má sleppa svigunum

Sýnidæmi: Rúmmál keilu

Hér er fall sem reiknar rúmmál keilu með gefna hæð og radíus grunnflatar, skv. formúlunni

\[R = \frac{\pi r^2 h}{3}\]

def rúmmál_keilu(h, r):
    '''skilar rúmmáli keilu með hæð h og radíus grunnflatar r'''
    pí = 3.14159265
    R = pí*r**2*h/3
    return R

og hér er fall sem reiknar rúmmál tveggja keila, sú fyrri hefur \(h=4\) og \(r=3\) og hin hefur \(h=2\) og \(r=1\).

# Forrit sem reiknar rúmmál tveggja keila
R1 = rúmmál_keilu(4,3)
R2 = rúmmál_keilu(2,1)
print(f"Rúmmál keilanna eru {R1:.3f} og {R2:.3f}")

Fallið prentar út Rúmmál keilanna eru 37.699 og 2.094

4.7  Hvernig virka föll

Viðföng og stikar

Breyturnar innan sviga á eftir fallsnafninu þar sem það er skilgreint kallast stikar (parameters), en þegar kallað er á fallið þá heita gildin sem sett eru í sviga á eftir fallsnafninu viðföng (arguments). Þau þurfa ekki að vera breytur en mega vera hvaða segðir sem er. Viðfang er sem sé gildi sem sent er inn í fall, en stiki er breyta í skilgreiningu fallsins sem tekur við gildinu.

Keyrsla forrits og falla

Hægt er að hugsa sér að forrit keyri þannig að það sé bendill sem færist niður eftir forritstextanum og bendi á næstu línu sem á að framkvæma. Þegar bendillinn kemur að kalli á fall færist hann yfir í fyrstu línu fallsins. Áður en hann heldur áfram þar eru framkvæmdar ósýnilegar gildisgjafarskipanir, stiki = viðfang fyrir alla stikana sem koma við sögu. Í fyrra kallinu í sýnidæminu er framkvæmt: h=4 og r=3. Þegar fallið er á enda færist bendillinn svo aftur þangað sem frá var horfið í forritinu sem kallaði, og þar er niðurstöðu fallsins skilað inn í viðtökubreytu (sem í dæminu okkar er R1).

Fjöldi skilagilda

Fallið í sýnidæminu í kafla 4.6 skilaði einu gildi, rúmmálinu sem verið var að reikna. En það er líka hægt að búa til föll sem skila mörgum gildum eða engu gildi, sbr eftirfarandi sýnidæmi.

Forrit sem engu skila gegna oft því hlutverki að birta eitthvað á skjá, t.d. útprentun á tölu, hnapp á vefsíðu, eða merkingu á x-ás í línuriti sem verið er að teikna. Þau gætu líka skrifað gögn í skrá, og stundum eru þau notuð til að stjórna ýmsu sem síðar er birt, t.d. litum á næstu línum í línuritinu.

Sýnidæmi: Fall sem skilar tveimur niðurstöðum

Fall sem skilar bæði ummáli og flatarmáli hrings með radíus r ásamt tilheyrandi kalli fyrir hring með radíus 1. Þetta forrit prentar út Flatarmálið er 3.142 og ummálið 6.283

def flat_og_um(r):
    pi = 3.14159265
    F = r**2*pi
    U = 2*r*pi
    return F,U

(F,U) = flat_og_um(1)
print(f"Flatarmálið er {F:.3f} og ummálið {U:.3f}")

Sýnidæmi: Fall sem skilar engu

Þetta fall prentar línu með stjörnum. Ef kallað er með prenta_stjörnur(10) prentar það **********.

def prenta_stjörnur(n):
    '''prentar línu með n stjörnum'''
    print(n*"*")

Fallið notar virkjann * til að fjölfalda streng; sjá kafla 4.2

4.8  Innbyggð föll

Fyrir utan föll sem notendur skrifa hafa forritunarmál yfirleitt fjöldan allan af innbyggðum föllum, sem hönnuðir málanna hafa skrifað og gert aðgengileg fyrir notendur. Mörg þessara falla eru notuð í útreikningum, en auk þess eru ýmis önnur föll, t.d. föll til að prenta (sem sé sýna texta og gildi á breytum á skjá), til að búa til runur, eða til að breyta um tög (t.d. breyta kommutölu í heiltölu eða streng í tölu). Í Python eru nokkur almenn föll sem alltaf eru aðgengileg, en flest föll eru geymd einingum (modules) sem tilheyra pökkum (packages) sbr. kafla 1.2. Þau þarf að gera aðgengileg með því að flytja inn viðkomandi einingu með import skipun.

Mikilvæg almenn föll

abs	tölugildi, abs(-3) → 3
max	hámark: max(1,2) → 2
min	lágmark: min(1,2) → 1
int	kommutala → heiltala, strengur → heiltala
round	kommutala → næsta heiltala (rúnnað)
float	heiltala → kommutala, strengur → kommutala
range	býr til runu til að nota í for-lykkju, sjá grein 2.4
len	lengd strengs
type	tag breytu

Ath. Með int eru aukastafir skornir af en með round eru tölur hækkaðar eða lækkaðar eftir því hvort aukastafirnir eru > 0.5 eða < 0.5. Ef aukastafir eru = 0.5 er valin næsta slétta tala: 2.5 → 2 og 3.5 → 4.

Æfing: Prófun almennra falla

1. Opnið vinnubók og prófið öll þessi föll. Látið t.d. x = –3, y = 2.7, s = "abc" og finnið |x|, max(x,y), min(x,y), float(x), int(y), range(4), len(s) og type(s).

2. Skoðið muninn á því sem print(type(s)) og display(type(s) birta.

Helstu stærðfræðiföll og fastar

Til að virkja innbyggð stærðfræðiföll í Python þarf að flytja inn sérstakt fallasafn eða einingu, math með því að skrifa fremst í forritinu:

import math

og svo þarf að setja math. framan við fallsnafnið þar sem fallið er notað, t.d. mundi

import math
print(math.sin(math.pi/6))

reikna og prenta út \(\sin \pi/6\) (sem er 0.5). Svo er líka hægt að skrifa

from math import nafn, nafn...

þar sem nafn, nafn… eru stærðfræðiföll eða -fastar, og þá þarf ekki að setja math. framan við nöfnin. Önnur leið til að reikna \(\sin \pi/6\) er sem sé:

from math import sin, pi
print(sin(pi/6))

Hér er upptalning á helstu innbyggðum stærðfræðiföllum og -föstum:

sin, cos, tan, asin, acos, atan  # Hornaföll í radíönum
atan2                            # Arctan fyrir pólhnit, Sjá verkefni :numref:`pólhnit`
exp, log, log2, log10, sqrt      # Vísisfall, lograr og kvaðratrót
pi, e, inf, nan                  # (stærðfræði)fastar
radians, degrees                 # breytt úr gráðum í radíana og öfugt

Ath. að log(x) gefur náttúrulegan logra (lógaritma), sem oft er táknaður ln(x).

Sjá nánar í Python hjálpinni, og ýmis dæmi í þessum fyrirlestrarnótum, t.d. sýnidæmið hér næst, „Ósamsett trapisuregla“ í kafla 4.9, „Rætur og veldi“ í kafla 4.10.2 og verkefni 8 aftast í nótunum.

Sýnidæmi: Regla Herons

Flatarmál þríhyrnings með hliðarlengdir \(a\), \(b\) og \(c\) er gefið með reglu Herons:

\[F = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]

þar sem \(s\) er hálft ummál þríhyrningsins, \(s=\dfrac{a+b+c}{3}\). Hér er Python-forrit sem reiknar flatarmál þríhyrnings með hliðarlengdir 3, 4 og 5 (auðvelt er að sjá að það á að koma út 6):

import math
a = 3
b = 4
c = 5
s = (3 + 4 + 5)/2
F = math.sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))
print(f"Flatarmálið er {F}")

Æfing: Sveiflutími gorms

Á myndinni er gormakerfi: Hlutur með massa \(m\) hvílir á fleti án núningsmótstöðu og er festur við veggina með gormum með stífnifasta \(k_1\) og \(k_2\). Eiginsveiflutími kerfisins verður

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}\]

1. Skrifið fall sveifla(m,k1,k2) sem reiknar sveiflutímann. Pí fæst með math.pi.

2. Skrifið forrit sem prófar fallið með m = 2, k1 = 3 og k2 = 4, og skrifar út sveiflutímann á sniðinu T = x.xxx (með f-streng).

4.9  Fallbreytur

Breytur geta tekið gildi sem eru föll: def fall: ... og neðar: x = fall eins og eftirfarandi dæmi sýnir.

Sýnidæmi: Bulla tvisvar

def gera_tvisvar(f):
    '''framkvæmir f tvisvar'''
    f()
    f()

def bulla():
    '''skrifar "bull"'''
    print("bull")

b = bulla         # b er fallbreyta
gera_tvisvar(b)   # prentar bull tvisvar

Meðal þess sem hægt er að nota fallbreytur í er ýmis vinna með stærðfræðiföll, til dæmis að teikna þau, finna heildi (integrals) eða leysa jöfnur. Segjum til dæmis að við viljum reikna heildið:

\[(*)\hspace{4cm}\int_1^2\frac{\sin(x)}{x} dx\hspace{4cm}\]

Þetta heildi er ekki hægt að reikna með venjulegum aðferðum stærðfræðigreiningar en hinsvegar er auðvelt að reikna það tölulega, t.d. með svonefndri trapisureglu, sem nálgar heildið með flatarmáli trapisu, nánar tiltekið:

\[\int_a^b{f(x)dx} \approx \frac{(b-a)(f(a) + f(b))}{2}\]

Það væri hægt að skrifa Python-fall til að reikna \((*)\) með trapisureglu, en ef við vildum reikna eitthvað annað heildi þyrfti að skrifa nýtt fall. Með því að nota fallbreytu er hægt að forrita trapisureglu í eitt skipti fyrir öll Í Python, eins og hér er sýnt:

Sýnidæmi: Ósamsett trapisuregla

Í þessu dæmi er heildið \((*)\) nálgað með ósamsettri trapisureglu og einnig heildið \(\int_0^1 h(x)dx\) þar sem \(h(x)=e^x\).

def trap1(f,a,b):
    '''heildi f frá a til b með ósamsettri trapisureglu'''
    I = (b-a)*(f(a)+f(b))/2
    return I

from math import sin, e
def g(x): return sin(x)/x
def h(x): return e**x

I1 = trap1(g,1,2)
I2 = trap1(h,0,1)
print(f'I1={I1:.3f}, I2={I2:.3f}')
    # prentar "I1=0.648, I2=1.859"

Nákvæm gildi á þessum heildum eru I1 = 0.659 og I2 = 1.718. Takið eftir að hægt er að skilgreina einföld föll á einni línu.

Æfing: Tvær trapisur

Betri nálgun á heildi fæst með því að nota tvær trapisur:

\(\qquad\displaystyle\int_a^b{f(x)dx} \approx\) trap1(f,a,m) + trap1(f,m,b)

þar sem \(m\) er miðpunktur bilsins; \(m = \dfrac{a+b}{2}\). Skrifið fall trap2 sem útfærir slíka reglu með því að kalla tvisvar á trap1 og prófið með því að nálga sömu heildi og í sýnidæminu. Ef rétt er forritað fást nú gildin I1 = 0.657 og I2 = 1.754.

4.10  Stýriskipanir

Í kafla 4.7 var talað um að forrit keyri þannig að bendill færist niður eftir forritstextanum og bendi á næstu línu sem á að framkvæma, og hvernig þessi bendill stekkur á annan stað þegar kallað er á föll. Þetta er hinsvegar ekki eina leiðin til að flytja bendilinn, það er líka hægt með svonefndum stýriskipunum (control statements). Það eru tvær aðalgerðir af stýriskipunum ef-setningar (if statement) og lykkjuskipanir (loop statement). Við höfum þegar séð ef-setningar í Collatz-forritinu í kafla 2, og þar voru líka tvær gerðir af lykkjuskipunum, while-lykkjur og for-lykkjur.

4.10.1  Ef-setningar

Hlutverk ef-setninga er að keyra mismunandi kafla forrits eftir því hvort tiltekið skilyrði er uppfyllt eða ekki. Ef-setningin er stundum kölluð ef-þá-annars (if-then-else) skipun því í mörgum forritunarmálum er orðið then notað á eftir skilyrðinu. Eins og sýnt var í kafla 2.4 er grunnsnið ef-setningar svona:

if skilyrði:
    skipun1
    skipun2
    ...
else:
    skipun3
    skipun4
    ...
skipun5

Ef skilyrðið er uppfyllt keyra skipanir 1 og 2 og svo fer bendillinn í skipun 5, en annars keyra skipanir 3 og 4 og svo áfram í númer 5. Kaflarnir sem ef-setningin stýrir eru inndregnir um eitt eða fleiri bil. Maður ræður hve mikill inndrátturinn er, en það þarf að draga allar línur hvers kafla jafnmikið inn. Svo er hægt að bæta við elif (stytting á else if) kafla eða köflum á undan else-kaflanum eins og næsta sýnidæmi sýnir:

Sýnidæmi: Notkun ef-setningar

Þetta dæmi les aldur tveggja manna Jóns og Páls og athugar hvor er eldri.

ajons = int(input("Aldur Jóns: "))
apals = int(input("Aldur Páls: "))
if ajons > apals:
    print("Jón er eldri en Páll")
elif ajons == apals:
    print("Jón og Páll eru jafngamlir")
else:
    print("Páll er eldri en Jón")
print("–og hér heldur forritið áfram")

4.10.2  For-lykkjur

Til að keyra kafla í forriti aftur og aftur og uppfæra svonefnda stýribreytu (control variable) í hverri umferð með nýju gildi má nota for-lykkjur. Snið for-lykkju er:

for stýribreyta in runa:
    skipun1
    skipun2
    ...
skipun3

Hér er runa einhver Python-aðferð til að búa til endanlega runu (sequence) af gildum sem stýribreytan fær. Skipanir 1 og 2 keyra jafn oft og lengd rununnar er, og í hverri umferð fær breytan næsta gildi rununnar. Að því loknu er haldið áfram með skipun 3. Algengasta aðferðin til að búa til rununa er að nota range-fallið, sbr. Collatz-forritið og næsta sýnidæmi. Hér eru helstu möguleikar á range fallinu:

range(5)       runan 0, 1, 2, 3, 4
range(2,5)     runan 2, 3, 4
range(2,10,2)  runan 2, 4, 6, 8
range(6,1,-1)  runan 6, 5, 4, 3, 2

Sýnidæmi: Rætur og veldi

Eftirfarandi forrit reiknar kvaðratrætur og önnur veldi talnanna 2, 3, 4 og 5. Það sýnir notkun á nokkrum atriðum sem fjallað hefur verið um hér á undan.

import math
print('x     √x     x²')
print('―――――――――――――――')
for x in range(2,6):
    print(f'{x}   {math.sqrt(x):.4f}   {x**2:2}')

Fallið prentar út eftirfarandi töflu

x     √x     x²
―――――――――――――――
2   1.4142    4
3   1.7321    9
4   2.0000   16
5   2.2361   25

Æfing: Range og breytilegur aukastafafjöldi

Sláið forritið í sýnidæminu hér á undan inn í vinnubók (eða afritið það). Prófið svo að breyta forritinu með því að:

1. Sleppa 2, í range kallinu

2. Nota for x in range(0,8,2)

3. Láta n = 3 (á undan for-lykkjunni) og breyta .4f í .{n}f

(Ath. að nota má V,   ^2 og - í stað unicode táknanna √,   ² og ― ef maður vill)

4.10.3  While-lykkjur

Stundum þarf enga stýribreytu, heldur er eðlilegra að halda áfram að endurtaka meðan tiltekið skilyrði er uppfyllt. Gott dæmi um þetta er í forritinu Collatz, þar sem haldið er áfram meðan ný tala í rununni er stærri en 1. Eins og þar sást er snið while-lykkju svona:

while skilyrði:
    skipun1
    skipun2
    ...
skipun3

Næsta æfing gefur síðan klassíska og nokkuð ítarlega notkun á while-lykkju. Það gefur líka innsýn inn í hugtakið reiknirit (algorithm) sbr. athugasemdina aftan við sýnidæmið.

Æfing: Reiknirit Evklíðs

Reiknirit Evklíðs er notað til að finna stærsta samþátt (greatest common divisor) tveggja talna \(x\) og \(y\), sem oft er táknaður \(\gcd(x,y)\). Til dæmis er \(\gcd(9,15) = 3\) því 3 er stærsta talan sem gengur upp í bæði 9 og 15. Skoðið stuttlega Wikipediugreinina um reikniritið. Hér er lýsing á því í orðum: „Deilið minni tölunni í þá stærri. Ef afgangurinn er ekki núll verður hann nýr deilir og minni talan verður nýr deilistofn. Svo er deilt aftur og aftur þar til deilingin gengur upp. Stærsti samþátturinn er síðasti jákvæði afgangurinn.“

1. Hvað er þetta reiknirit gamalt?

2. Nefnið a.m.k. eitt notkunarsvið þess nú á tímum.

3. Reiknið \(\gcd(102,27)\) með blaði og blýanti.

4. Wikipedia er með nokkrar útfærslur reikniritsins á blendingsmáli í Implementations. Þýðið þá fyrstu yfir í Python og prófið. Setjið inn print-skipun til að skoða alla afgangana sem fást.

Athugasemd: Reiknirit og Python

Reiknirit er endanleg runa af skipunum sem hægt er að þýða yfir í tölvuforrit. Reiknirit eru venjulega notuð til að leysa ákveðin verkefni og þau eru alltaf ótvíræð. Reiknirit eru of skrifuð í blendingsmáli (pseudocode), en það er frjálsleg lýsing á tölvureikningum, þar sem blandað er saman forritsskipunum, lýsingu skrefa á íslensku (eða ensku) og stærðfræðiformúlum (sbr. þetta). Forritsskipanirnar mega vera á íslensku og svolítið frjálslegar, og stærðfræðiformúlurnar mega vera allflóknar, t.d. með brotastrikum og summum. Ef borin eru saman forrit í Python, forrit í ýmsum öðrum forritunarmálum, og reiknirit á blendingsmáli (t.d. á Wikipediu) sést að Python minnir um margt á sum þessara reiknirita.

4.10.4  Skipanirnar continue og break

Inni í lykkjum er hægt að nota tvær skipanir í viðbót til að færa keyrslubendilinn sem talað var um í byrjun kaflans, continue sem hleypur yfir afgang lykkjukaflans og byrjar strax á næstu umferð, og svo er break notað til að brjótast strax út úr lykkjunni og halda áfram með næstu skipun á eftir henni. Af þessum tveimur er break meira notuð. Með henni er hægt að láta for-lykkju herma eftir while-lykkju, svona:

for i in range(99999999):
    if not skilyrði: break
    skipun1
    skipun2
    ...

Hér þarf að passa að velja nógu stóra tölu í range-fallinu.

4.11  Skilyrt gildi

Í stærðfræði er hægt að skilgreina breytur og föll með svonefndum gaffalformúlum, þar sem gildið sem breytan eða fallið fær fer eftir tilteknu skilyrði. Hér er dæmi:

\[\begin{split}f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{ef } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{annars} \end{cases}\end{split}\]

Svona skilgreiningu má búa til í Python með svonefndu skilyrtu gildi (conditional expression). Skipunin:

x = segð1 if skilyrði else segð2

jafngildir:

if skilyrði:
   x = segð1
else
   x = segð2

Til dæmis mætti reikna tölugildi með a = -x if x < 0 else x. Í Java og C er hægt að búa til svona gildi með x = skilyrði ? segð1 : segð2 og tölugildið fengist með a = x < 1 ? -x : x.

Æfing: Gaffalformúla

Búið til Python fall til að reikna fallið \(f(x)\) sem skilgreint er með gaffalformúlunni hér að ofan. Notið skilyrt gildi. Prófið að reikna \(f(0)\), og \(f(3)\) (sem ætti að gefa 0 og 5).

4.12  Lokaæfingin

Æfing: Kynning á vinnubókum II

Í vinnubókinni kynning.ipynb sem náð var í í Æfingu aftan við kafla 3.7 er hægt að prófa mörg af þeim Python-atriðum sem lýst hefur verið í þessum 4. kafla og æfa sig í þeim. Opnið þessa bók í Colab og fylgið leiðbeiningum í henni.